相关系数

什么是有关系数

有关表和有关图可反应两个变量之间的相互关系及其有关方向，但无法确切地显示两个变量之间有关的程度。

著名统计学家卡尔·皮尔逊设计了统计指标——有关系数。有关系数是用以反应变量之间有关关系紧密程度的统计指标。有关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反应两变量之间有关程度；着重研究线性的单有关系数。

根据有关现象之间的不同特质，其统计指标的名称有所不同。如将反应两变量间线性有关关系的统计指标称为有关系数（有关系数的平方称为判定系数）；将反应两变量间曲线有关关系的统计指标称为非线性有关系数、非线性判定系数；将反应多元线性有关关系的统计指标称为复有关系数、复判定系数等。

有关系数的几种定义

有关关系是一种非确定性的关系，有关系数是研究变量之间线性有关程度的量。受于研究对象的不同，有关系数有如下几种定义方式。

简单有关系数：又叫有关系数或线性有关系数，一般用字母P 表明，是用来度量变量间的线性关系的量。

复有关系数：又叫多重有关系数。复有关是指因变量与多个自变量之间的有关关系。比如，某种商品的季节性需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复有关关系。

典型有关系数：是先对原来各组变量执行主成分分析，得到新的线性关系的综合指标，再通过综合指标之间的线性有关系数来研究原各组变量间有关关系。

">编辑]有关系数的性质

(1) $|\rho_{XY}| \le 1$ ；

(2)定理： | ρXY | = 1的充要条件是，存在常数a，b，致使 $\rho \left\{ Y=a+bX \right\}=1$ ；

有关系数ρXY取值在-1到1之问，ρXY = 0时，

称X,Y不有关； | ρXY | = 1时，称X,Y完全有关，此时，X,Y之间具有线性函数关系； | ρXY | < 1时，X的变动引起Y的部分变动，ρXY的绝对值越大，X的变动引起Y的变动就越大， | ρXY | > 0.8时说为高度有关，当 $\rho^2_{XY}<0.09$ ，即 | ρXY | < 0.3时，称为低度有关，其余为中度有关。

(3)推论：若Y=a+bX，则有

$\rho_{XY}=\begin{cases} 1, & b>0 \\ 0, & b=0 \\ -1, & b<0 \end{cases}$

证明：令E(X) = μ，D(X) = σ2

则E(Y) = bμ + a，D(Y) = b2σ2

E(XY) = E(aX + bX2) = aμ + b(σ2 + μ2)

Cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y) = bσ2

若b≠0，则 $\rho=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}}= \frac{b\sigma^2}{\sigma |b| \sigma}=\begin{cases} 1, & b>0 \\ -1, & b<0 \end{cases}$

若b=0，则ρXY = 0。

有关系数的计算方法

有关系数的公式如下:

$r=\frac{\sigma{xy}}{\sigma_x\sigma_y}$ (1)

$\sigma{xy}=\sigma^2{xy}=\frac{\sum(x-\overline{x})(y-\overline{y})}{n}$

$\sigma_x=\sqrt{\frac{\sum(x-\overline{x})^2}{n}}$

$\sigma_y=\sqrt{\frac{\sum(y-\overline{y}^2)}{n}}$

$r=\frac{\sum(x-\overline{x})(y-\overline{y})}{\sqrt{\sum(x-\overline{x})^2\sum(y-\overline{y})^2}}$ (2)

$=\frac{n\sum xy-\sum x\sum y}{n\sum x^2-(\sum x)^2\cdot\sqrt{n\sum y^2-(\sum y)^2}}$ (3)

$=\frac{n^2}{\frac{\sum x}{n}-\frac{\sum y}{n}}{\sqrt{n^2\cdot\sqrt n^2}}$ (4)

$=\frac{\overline{xy}-\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{\sum\overline{x^2}-(\overline{x})^2}\cdot\sqrt{\sum\overline{y^2}-(\overline{y})^2}}$ (5)

$L_{xx}=\sum(x-\overline{x})^2=\sum x^2-\frac{(\sum x)^2}{n}$

$L_{yy}\sum(y-\overline{y})^2=\sum y^2-\frac{(\sum y)^2}{n}$

$L_{xy}=\sum(x-\overline{x})(y-\overline{y})=\sum xy-\frac{\sum x \sum y}{n}$

$r=\frac{L_{xy}}{\sqrt{L_{xx}L_{yy}}}$

有关系数的值介于–1与+1之间，即–1≤r≤+1。其性质如下：

当r>0时，表明两变量正有关，r<0时，两变量为负有关。当|r|=1时，表明两变量为完全线性有关，即为函数关系。当r=0时，表明两变量间无线性有关关系。当0<|r|<1时，表明两变量存在一定程度的线性有关。且|r|越靠近1，两变量间线性关系越紧密；|r|越靠近于0，表明两变量的线性有关越弱。一般可按三级划分：|r|<0.4为低度线性有关；0.4≤|r|<0.7为明显性有关；0.7≤|r|<1为高度线性有关。

例:某财务软件公司在全国有很多代理商，为研究它的财务软件产品的广告投入与销售额的关系，统计人士随机选择10家代理商执行观察，搜集到年广告投入费和月平均销售额的报告，并编制成有关表，见表1:

表1广告费与月平均销售额有关表单位：万元

参照表1，可计算有关系数如表2：

$r=\frac{n\sum xy-\sum x\sum y}{\sqrt{n\sum x^2-(\sum x)^2}\sqrt{n\sum y^2-(\sum y)^2}}$ $=\frac{10\times 16679.09-346.2\times 422.5}{\sqrt{10\times 14304.52-346.2^2}\sqrt{10\times 19687.81-422.5^2}}$ =0.9942

有关系数为0.9942，表明广告投入费与月平均销售额之间有高度的线性正有关关系。

">编辑]有关系数的应用1.在几率论计算中的应用

例1．若将一枚硬币抛n次，X表明n次试验中显现正面的次数，Y表明n次试验中显现反面的次数。计算ρXY。

解：受于X+Y=n，则Y=-X+n，依据有关系数的性质推论，得ρXY = − 1。

例2．已知随机变量X、Y分别服从正态分布N(1，9)，N(0，16)且X，Y的有关系数 $\rho_{XY}=-\frac{1}{2}$

设 $Z=\frac{X}{3}+\frac{Y}{2}$ ，求证X，Z相互独立。

证明：由已知得E(X)=1，D(X)=9，E(Y)= 0，D(Y) = 16

$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\rho_{XY} \bullet \sqrt{D(X)} \bullet \sqrt{D{Y}}=-6$

受于正态分布的随机变量的线性组合依然服从正态分布，知Z是正态变量。

依据数学期望的性质有 $E(Z)=E(\frac{1}{3}X+\frac{1}{2}Y)=\frac{1}{3}E(X)+\frac{1}{2}E(Y)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2} \times 0 =\frac{1}{3}$

依据方差的性质有 $D(Z)=D(\frac{1}{3}X+\frac{1}{2}Y)=\frac{1}{9} D(X) + \frac{1}{4} D(Y) + 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} Cov(X,Y)=3$ 得 $Z \sim N(\frac{1}{3},3)$

$E(XZ)=E(\frac{1}{3}X^2)+\frac{1}{2}XY)=\frac{1}{3}E(X^2) + \frac{1}{2} E(XY)$

受于 E(XY) = Cov(X,Y) + E(X)E(Y) = − 6，

E(X2) = D(X) + 2 = 10

$E(XZ)=\frac{1}{3} \times 10 + \frac{1}{2} \times (-6) = \frac{1}{3}$

$Cov(X,Z)=E(XZ)-E(X)E(Z)=\frac{1}{3}-1 \times \frac{1}{3}=0$

ρXZ = 0，X，Z不有关。

受于正态随机变量的相互独立与互不有关等价，故X,Z相互独立。

所以，一般情形下两个随机变量不有关不一定相互独立。不有关仅指随机变量之问没有线性关系，而相互独立则显示随机变量之间互不影响，没相关系。

2.在企业物流上的应用

【例】一种新产品上市。在上市以前，公司的物流部需把新产品合理分配到全国的10个仓库，新品上市一个月后，要评估事实分配方案与以前考虑的其余分配方案中，是事实分配方案好依旧其中仍未运用的分配方案更好，通过如此的评估，可以在下一次的新产品上市运用更精准的产品分配方案，以避免受于分配而造成的积存和断货。表1是依据事实报告所列的数表。

通过计算，很容易得出这3个分配方案中，B的有关系数是最大的，如此就评估到B的分配方案比事实分配方案A更好，在下一次的新产品上市分配计划中，就可以考虑用B该种分配方法来计算事实分配方案。

3.在聚类分析中的应用

【例】假使有若干个样品，每个样品有n个特质，则有关系数可以表明两个样品问的类似程度。借此，可以对样品的亲疏远近执行距离聚类。比如9个小麦品种(分别用A1,A2,...,A9表明)的6个性状资料见表2，作有关系数计算并检验。

由有关系数计算公式可计算出6个性状间的有关系数，分析及检验结果见表3。由表3可以看出，冬季分蘖与每穗粒数之间呈现负有关(ρ = − 0.8982)，即麦冬季分蘖越多，那么每穗的小麦粒数越少，其余性状之间的关系不明显。

有关系数的缺点

需要表示的是，有关系数有一个显著的缺点，即它靠近于1的程度与报告组数n有关，这容易给人一种假象。由于，当n较小时，有关系数的波动较大，对有些样本有关系数的绝对值易靠近于1；当n较大时，有关系数的绝对值容易偏小。尤其是当n=2时，有关系数的绝对值总为1。所以在样本容量n较小时，我们仅凭有关系数较大就判定变量x与y之间有紧密的线性关系是不妥当的。

比如，就我国深沪两股市资产负债率与每股收益之间的有关关系做研究。发现1999年资产负债率前40位的上市公司，二者的有关系数为r=–0.6139；资产负债率后20位的上市公司，二者的有关系数r=0.1072；而对于沪、深全部上市公司（基金除外）结果却是，r沪=–0.5509，r深=–0.4361，依据三级划分方法，两变量为明显性有关。这也表明仅凭r的计算值大小分析有关程度有适当的缺陷。

参考文献 ↑ 1.0 1.1 郭红霞.有关系数及其应用.武警工程学院学报.2010年3月,第26卷第2期 ↑ 王爱莲.统计学.第七章有关与回归分析.第一节有关分析.西安石油大学.经济管理学院

推荐文章

热门文章

推荐文章

热门文章