误差修正模型

误差修正模型的造成原因

对于非平稳时间序列，可通过差分的方法将其化为平稳序列，然后才可建立经典的回归分析模型。

如：建立人均消费水平（Y）与人均可支配收入（X）之间的回归模型：

Yt = α0 + α1Xt + μt

假使Y与X具有共同的往上或朝下的改变趋势,执行差分，X,Y形成稳定序列，建立差分回归模型得：

ΔYt = α1ΔXt + vt 式中，vt = μt − μt − 1但是，该种做法会引起两个困难：(1)假使X与Y间存在着长期平稳的均衡关系 Yt = α0 + α1Xt + μt 且误差项μt不存在序列有关，则差分式 ΔYt = α1ΔXt + vt 中的vt是一个一阶移动平均时间序列，因此是序列有关的；(2)假使采取差分形式执行预期，则有关变量水平值的重要信息将被忽视，这时模型只表达了X与Y间的短时间关系，而没有揭示它们间的长期关系。

由于，从长期均衡的看法看，Y在第t期的改变不仅取决于X自身的改变，还取决于X与Y在t-1期末的状态，特别是X与Y在t-1期的不均衡程度。此外，运用差分变量也往往会得出不能让人满意回归方程。

比如，运用ΔY1 = ΔXt + vt 回归时，很少显现截距项明显为零的情形，即我们常常会得到如下形式的方程： ${\Delta}Y_t=\hat{{\alpha}_0}+\hat{{\alpha}_1}{\Delta}X_t+v_t$ 式中， $\hat{{\alpha}_0}\ne0$ （1）

在X维持不变时，假使模型存在静态均衡（static equilibrium），Y也会维持它的长期均衡值不变。

但假使运用（1）式，即便X维持不变，Y也会处在长期上升或下滑的过程中，这代表着X与Y间不存在静态均衡。这与大部分具有静态均衡的经济理论假说不吻合。可见，简单差分不一定能处理非稳定时间序列所遇到的全部困难，所以，误差修正模型便应运而生。

">编辑] 误差修正模型的简述

误差修正模型（Error Correction Model，简记为ECM）是一种具有特定形式的计量经济学模型，它的首要形式是由Davidson、 Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，称为DHSY模型。

为了便于理解，我们通过一个具体的模型来介绍它的结构。

如果两变量X与Y的长期均衡关系为:

Yt = α0 + α1Xt + μt (2)

受于现实经济中X与Y很少处在均衡点上，所以事实观测到的导致X与Y间的短时间的或非均衡的关系，如果具有如下(1,1)阶分布落后形式

$Y_t={\beta}_0+{\beta}_1X_t+{\beta}_2X_{t-1}+{\mu}Y_{t-1}+{\varepsilon}_t$ (3)

该模型表明出第t期的Y值，不仅与X的改变相关，而且与t-1期X与Y的状态值相关。

受于变量或许是非稳定的，所以不能直接运用OLS法。对(3)式适当变形得： ${\Delta}Y_t={\beta}_1{\Delta}X_t-\lambda(Y_{t-1}\alpha}_0\alpha}_1X_{t-1})+{\varepsilon}_t$ (4)

式中，λ = 1 − μ， ${\alpha}_0=\frac{\beta_0}{(1-\mu)}$ ， ${\alpha}_1=\frac{({\beta}_1+{\beta}_2)}{(1-\mu)}$

假使将（4）中的参数α0，α1与Yt = α0 + α1Xt + μt中的相应参数看为相等，则（4）式中括号内的项就是t-1期的非均衡误差项。

（4）式显示：Y的改变决定于X的改变以及前一期间的非均衡程度。同期，（4）式也弥补了简单差分模型ΔY1 = ΔXt + vt的不足，由于该式含有用X、Y水平值表明的前期非均衡程度。所以，Y的值已对前期的非均衡程度做出了修正。(4)式称为一阶误差修正模型(first-order error correction model)。

（4）式可以写成： ${\Delta}Y_t={\beta}_1{\Delta}X_t-\lambda ecm+{\varepsilon}_t$

其中:ecm表明误差修正项。由分布落后模型 $Y_t={\beta}_0+{\beta}_1X_t+{\beta}_2X_{t-1}+{\mu}Y_{t-1}+{\varepsilon}_t$ 知：一般情形下|μ|<1 ，由关系式μ得0<λ<1。可以据此分析ecm的修正作用：

(1)若(t-1)时刻Y大于其长期均衡解α0 + α1X，ecm为正，则(-λecm)为负，致使ΔYt降低；

(2)若(t-1)时刻Y差于其长期均衡解α0 + α1X，ecm为负，则(-λecm)为正，致使ΔYt放大。

体现了长期非均衡误差对Yt的控制。

需要注意的是：在事实分析中，变量常以对数的形式显现。

其首要原因在于变量对数的差分近似地等于该变量的改变率，而经济变量的改变率常常是平稳序列，所以适合于包含在经典回归方程中。

于是:

(1)长期均衡模型

Yt = α0 + α1Xt + μt

中的α1可看为Y有关X的长期弹性（long-run elasticity）

(2)短时间非均衡模型 $Y_t={\beta}_0+{\beta}_1X_t+{\beta}_2X_{t-1}+{\mu}Y_{t-1}+{\varepsilon}_t$

中的β1可看为Y有关X的短时间弹性（short-run elasticity）。

更复杂的误差修正模型可依照一阶误差修正模型相似地建立。

">编辑] 误差修正模型的建立

（1）Granger 表述定理

误差修正模型有很多显著的优点：如 a）一阶差分项的运用清除了变量或许存在的趋势原因，进而避免了虚假回归困难； b）一阶差分项的运用也清除模型或许存在的多重共线性困难； c）误差修正项的引入保证了变量水平值的信息没有被忽略； d）受于误差修正项自身的稳定性，致使该模型可以用经典的回归方法执行预期，特别是模型中差分项可以运用一般的t检验与F检验来执行选取。

所以，一个重要的困难就是：能否变量间的关系都可以通过误差修正模型来表述？

就此困难，Engle 与 Granger 1987年提出了著名的Grange表述定理（Granger repsentaion theorem）：

假使变量X与Y是协整的，则它们间的短时间非均衡关系总能由一个误差修正模型表述：

ΔYt = lagged(ΔY,ΔX) − λμt − 1 + εt

式中，μt − 1是非均衡误差项或者说成是长期均衡偏差项， λ是短时间调整参数。

对于(1,1)阶自回归分布落后模型 $Y_t={\beta}_0+{\beta}_1X_t+{\beta}_2X_{t-1}+{\mu}Y_{t-1}+{\varepsilon}_t$

假使 Yt~I(1), Xt~I(1) ; 那么 ${\Delta}Y_t={\beta}_1{\Delta}X_t-\lambda(Y_{t-1}\alpha}_0\alpha}_1X_{t-1})+{\varepsilon}_t$ 的左边ΔYt~I(0) ，右边的ΔXt ~I(0) ，所以，只有Y与X协整，才可保证右边也是I(0)。

所以，建立误差修正模型，需要

首先对变量执行协整分析，以发现变量之间的协整关系，即长期均衡关系，并以该种关系组成误差修正项。然后建立短时间模型，将误差修正项看作一个解释变量，连同其它反应短时间波动的解释变量一起，建立短时间模型，即误差修正模型。

（2）Engle-Granger两步法

由协整与误差修正模型的的关系，可以得到误差修正模型建立的E-G两步法：第一步，执行协整回归（OLS法），检验变量间的协整关系，预期协整向量（长期均衡关系参数）；第二步，若协整性存在，则以第一步求到的残差作为非均衡误差项加入到误差修正模型中，并用OLS法预期相应参数。需要注意的是：在执行变量间的协整检验时，如有必要可在协整回归式中加入趋势项，这时，对残差项的平稳性检验就无须再设趋势项。此外，第二步中变量差分落后项的多少，可以残差项序列能否存在自有关性来分析，假使存在自有关，则应加入变量差分的落后项。

（3）直接预期法

也可以采取打开误差修整模型中非均衡误差项括号的方法直接用OLS法预期模型。但依然需要事先对变量间的协整关系执行检验。

如对双变量误差修正模型 ${\Delta}Y_t={\beta}_1{\Delta}X_t-\lambda(Y_{t-1}\alpha}_0\alpha}_1X_{t-1})+{\varepsilon}_t$

可打开非均衡误差项的括号直接预期下式：

${\Delta}Y_t=\lambda{\alpha}_0+{\beta}_1{\Delta}X_t+\lambda{Y}_{t-1}+\lambda{\alpha}_1X{t-1}+{\varepsilon}_t$

这时短时间弹性与长期弹性可一并得到。需注意的是，用不同方法建立的误差修正模型结果也往往不一样。

参考文献↑ 1.0 1.1 计量经济学.第九章,第三节协整与误差修正模型.华南师范大学,经济管理学院.课件

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