什么是纯策略纳什均衡
纯策略纳什均衡是指在一个纯策略组合中,假使给定其余的策略不变，该节点不会单方面更改自己的策略，否则不会让节点访问代价变小。
">编辑]存在纯策略纳什均衡的有限次重复博弈
假使重复博弈中有惟一纯策略纳什均衡，那么我们怎么找出它的纯策略纳什均衡呢?首先看下面囚徒的窘境的博弈的例子：
我们当下考虑该博弈重复两次的重复博弈，这可以理解成给囚徒两次坦白机会，最后的得益是两个阶段博弈中各自得益之和．在两次博弈过程中，双方知道首次博弈的结果再执行二次博弈．用逆推归纳法来分析，先分析第二阶段，也就是第二次重复时两博弈方的选择．很显著，这个第二阶段依然是两囚徒之间的一个囚徒的窘境博弈，此时前一阶段的结果已形成既成事实，此后又不再有任何的后续阶段，所以达到本身目前的最大利益是两博弈方在该阶段决策中的惟一原则．
所以我们不难得出结论，不管前一次的博弈得到的结果如何，第二阶段的惟一结果就是原博弈惟一的纳什均衡(坦白，坦白)，双方得益(-5，-5)．
当下再回到第一阶段，即首次博弈．理性的博弈方在第一阶段就对后一阶段的结局非常清楚，知道第二阶段的结果必然是(坦白，坦白)，所以不管第一阶段的博弈结果是什么，双方在整个重复博弈中的最终得益，全会是第一阶段的基础上各加-5．所以从第一阶段的选择来说，这个重复博弈与图l中得益矩阵表明的一次性博弈事实上是完全等价的．
于是我们可以得出惟一纯策略均衡的有限次重复博弈的结果就是重复原博弈惟一的纯策略纳什均衡，这就是该种重复博弈惟一的子博弈完美纳什均衡路径．
假使重复博弈中有多个纯策略纳什均衡，设某一市场有两个生产同样质量产品的厂商，他们对产品的定价同有高(H)、中(M)、低(L)三种或许．设高价时市场总利润为10个单位，中价时市场总利润为6个单位，低价时市场总利润为2个单位．再如果两厂商同期决定价格，价格不等时低价格者独享利润，价格相等时双方平分利润．这时候两厂商对价格的选择就组成了一个静态博弈困难．我们看一个三价博弈的重复博弈的例子：
显然，这个得益矩阵有两个纯策略纳什均衡(M，M)和(L，L)，我们也可以看出事实上两博弈方最大的得益是策略组合(H，H)，但是它并没有是纳什均衡．当下考虑重复两次该博弈，我们采取一种触发策略(Trigger Strategy)：博弈双方首先尝试合作，一旦发觉对方不合作也用不合作相报复的策略．致使在第一阶段采取(H，H)形成子博弈完美纳什均衡，其双方的策略是如此的：
博弈方1：首次选H；假使首次结果为(H，H)，则第二次选M，假使首次结果为任何其余策略组合，则第二次选择L．
博弈方2：同博弈方1．在上述双方策略组合下，两次重复博弈的路径一定为第一阶段(H，H)，第二阶段(M，M)，这是一个子博弈完美纳什均衡路径．由于第二阶段是一个原博弈的纳什均衡，所以不或许有哪一方愿意单独偏离；其次，第一阶段的(H，H)尽管不是以前的博弈纳什均衡，但是假使一方单独偏离，采取M能增长1单位得益，如此的后果却是第二阶段起码要损失2单位的得益，由于双方采取的是触发策略，即有报复机制的策略，所以合理的选择是坚持H．这就表明了上述策略组合是这个两次重复博弈的子博弈完美纳什均衡．
从上述的例子我们可以看出，有多个纯策略纳什均衡的博弈重复两次的子博弈完美纳什均衡路径是，第一阶段采取(H，H)，第二阶段采取原博弈的纳什均衡(M，M)．
假使这个重复博弈重复三次，或者许多次，结论也是类似的，依然用触发策略，它的子博弈完美纳什均衡路径为除了最后一次以外，每次都采取(H，H)，最后一次采取原博弈的纳什均衡(M，M)．
">编辑]存在纯策略纳什均衡的无限次重复博弈
与有限次重复博弈一样，无限次重复博弈也是基本博弈的简单重复，但是无限次重复博弈没有最后一次重复，所以无限次重复博弈与有限次有一部分不同．
任何博弈中博弈方策略选择的根据均为得益的大小，这在重复博弈中依然是成立的．但是重复博弈又与一次性博弈有所不同，由于在重复博弈中，每一阶段均为一个博弈，而且各博弈方都有得益，所以对于重复博弈，我们要计算的就是博弈终结时的一个总体得益．受于前一次博弈和后一次博弈之间会有损失，所以我们采取一种方法，就是将后一阶段的得益折算成目前阶段得益的(当下值)的贴现系数δ．有了贴现系数δ，那么在无限次重复博弈中，某博弈方各阶段得益为π1,π2,...,则该博弈方总得益的当下值为：
对于存在惟一纯策略纳什均衡博弈的无限次重复博弈，我们从下面的例子来说：
其中博弈方1和博弈方2分别表明两个厂商，H和L分别表明高价和低价．显然，该博弈的一次性博弈有惟一的纯策略纳什均衡(L，L)，但是这个纳什均衡并没有是最佳策略组合，由于策略组合(H，H)的得益(4，4)比(1，1)要高的多．但是受于(H，H)不是该博弈的纳什均衡，所以在一次性博弈中不会被采取．依据上面的分析，此博弈在有限次重复博弈并没有能达到潜在的合作利益，两博弈方在每次重复中都不会采取效率较高的(H，H)．为了达到效率较高的合作利益(H，H)，如果两博弈方都采取触发策略，也即报复性策略：第一阶段采取H，在第t阶段，假使前t-l阶段的结果均为(H，H)，则继续采取L．如果博弈方1已经采取了该种策略，当下我们来确定博弈方2在第一阶段的最优选择．假使博弈方2采取L，那么在第一阶段能得到5，但如此会引起博弈方1一直采取L的报复，自己也只能一直采取L，得益将永远为1，总得益的当下值为
假使博弈方2采取H，则在第一阶段他将得4，下一阶段又面对同样的选择．若记V为博弈方2在该重复博弈中每阶段都采取最佳选择的总得益当下值，那么从第二阶段开始的无限次重复博弈由于与从第一阶段开始的只差一 阶段，因此在无限次重复时可看作相同的，其总得益的当下值折算成第一阶段的得益为
，所以当第一阶段的最佳选择是H时，整个无限次重复博弈总得益的当下值为
或者
所以，当
解得
时，博弈方2会采取H策略，否则会采取L策略．也就是说当
时，博弈方2对博弈方1触发策略的最佳反映是第一阶段采取H.这时我们就说双方采取上述触发策略是一个纳什均衡．
于是我们得出，在有限次重复博弈中，惟一纯策略纳什均衡不能达到最大得益(H，H)，而在无限次重复博弈中，通过触发策略却可以达到(H，H)。
参考文献↑ 1.0 1.1 陈敏.不存在纯策略纳什均衡的重复博弈.咸宁学院学报.2005年12月.第25卷第6期
