逻辑斯蒂方程

逻辑斯蒂方程的推导

当一种新产品刚面世时，厂家和商家总是采取各种措施促进销售。他们都期望对该种产品的推销速度做到心中有数，如此厂家便于组织生产，商家便于安排进货。怎样建立数学模型描述新产品推销速度呢？

首先要考虑社会的需求量．社将对产品的需求情况一般依如下两个特性确定：

1. 对产品的需求有一个饱和水平．当产品需求量高达一定数量时，对该种产品的需求也饱和了，设饱和水平为a；

2. 如果在时刻t，社将对产品的需求量为x=x(t)，需求的上涨速度dx/dt正比于需求量x(t)与需求靠近饱和水平的程度a-x(t)之乘积，记比例系数为k ；

依据上述事实背景的两个特质，可建立如下微分方程：

$\boldsymbol{\frac{dx}{dt}=kx(a-x)}$ .......................(1)

分离变量，得:

$\boldsymbol{\frac{dx}{a-x}=e^{ac}e^{akt}=Ae^{bt}}$

两边积分，得:

$\boldsymbol{\frac{x}{x(a-x)}=kdt}$

其中: $\boldsymbol{A=e^{ac}}$

进而，通解为:

$\boldsymbol{x(t)=\frac{aAe^{bt}}{Ae^{bt}+1}=\frac{a}{1+Be^{-bt}}}$ ......(2)

其中 $\boldsymbol{B=\frac{1}{A}=e^{-x}}$ ，B和b为正常数，可由初始条件确定。式(1)称为逻辑斯蒂方程(1ogistic equation)，式(2)称为逻辑斯蒂曲线。

逻辑斯蒂方程的基本性质

1.当t=O时，x(t)的值为： $X_0=\frac{a}{1+B}$ ；

2.x(t)的上涨率 $\frac{dx(t)}{dt}=\frac{abBe^{-bt}}{(1+B^{-bt})^2}>0$ ,所以，x(t)是增函数；

3.当B值较大而t较小时， $\boldsymbol{Be^{-bt}}$ 将很大， $1+Be^{-bt} \approx Be^{-bt}$ ,于是

$x(t) \approx \frac{a}{Be^{-bt}}=\frac{a}{b}e^{bt}$

x(t)近似于依指数函数放大，销售速度持续放大；

4.当t放大以后， $\boldsymbol{Be^{-bt}}$ 越来越靠近于零，分母越来越靠近于1，销售速度开始下滑，x(t)的值靠近于a（饱和值）。

逻辑斯蒂方程的应用

1．人口制约上涨困难

人口的上涨不是呈指数型上涨的，这是受于环境的制约、有限的资源和人为的影响，最终人口的上涨将放慢下来。事实上，人口上涨规律满足逻辑斯蒂方程。

2. 信息传播困难

所谓信息传播可以是一则新闻，一条谣言或市场上某种新商品相关的知识,在初期，知道这一信息的人很少，但是随时间的推动，知道的人逐渐增多，到一定时间，社会上多部分人都知道了这一信息．这里的数量关系可以用逻辑斯蒂方程来描述。若以t表明从信息造成算起的时间，P表明已知信息的人口比例，则逻辑斯蒂方程变为：

$P=\frac{1}{1+Be^{-bt}}$ ...................(3)

比如,当某种商品调价的通知下达时，有10％的市民听到这一通知，2小时以后，25％的市民知道了这一信息，由逻辑斯蒂方程可算出有75％的市民了解这一情形所需要的时间。

在方程(3)中，由t=0时，P=10％可得 B＝9;再由t=2时，P=25％可得, $b=\frac{1}{2}ln3$ 。

当P=75％时，有:

$75%=\frac{1}{1+9e^{-\frac{1}{2}ln3}}$

解得t=6，即6小时后，全市有75％的人了解这一通知。

3.商品销售预期困难

比如，某种商品的销售，开始时，知道的人很少，销售量也很小。当该种商品信息传播出去后，销售量大批增长，到靠近饱和时销售量增长极为迟缓。比如，该种商品饱和量预期a=500(百万件)，大概5年可达饱和，常数b经测定为b=lnl0，B=100。下面我们来预期一下第3年底的销售量是多少。

由 $x=\frac{a}{1+Be^{-bt}}$ ,有:

$x=\frac{500}{1+100e^{-ln10*3}}=\frac{500}{1+100(\frac{1}{10})^3}=454.5$ (百万件)

所以第三年底的市场销售量大概为454.5百万件，如此可以做到有计划地生产。

逻辑斯蒂方程的应用比较普遍。假使困难的基本数量特质是：在时间t很小时，呈指数型上涨，而当t放大时，上涨速度就下滑，且越来越靠近于一个确定的值，这类困难可以用逻辑斯蒂方程加以处理。

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