回归分析预测法

什么是回归分析预期法？

回归分析预期法，是在分析市场现象自变量和因变量之间有关关系的基础上，建立变量之间的回归方程，并将回归方程作为预期模型，依据自变量在预期期的数量改变来预期因变量关系大多显现为有关关系，所以，回归分析预期法是一种重要的市场预期方法，当我们在对市场现象将来发展情况和水平执行预期时，假使能将影响市场预期对象的首要原因寻到，而且能够获得其数量资料，就可以采取回归分析预期法执行预期。它是一种具体的、行之有效的、实用价值很高的常用市场预期方法。

回归分析预期法的分类

回归分析预期法有多种类型。根据有关关系中自变量的个数不同分类，可分为一元回归分析预期法和多元回归分析预期法。在一元回归分析预期法中，自变量只有一个，而在多元回归分析预期法中，自变量有两个以上。根据自变量和因变量之间的有关关系不同，可分为线性回归预期和非线性回归预期。

回归分析预期法的步骤

1．依据预期目标，确定自变量和因变量

清晰预期的具体目标，也就确定了因变量。如预期具体目标是下一年度的销售量，那么销售量Y就是因变量。通过市场调查和查阅资料，寻求与预期目标的有关影响要素，即自变量，并从中选出首要的影响要素。

2．建立回归预期模型

根据自变量和因变量的历史统计资料执行计算，在此基础上建立回归分析方程，即回归分析预期模型。

3．执行有关分析

回归分析是对具有因果关系的影响要素（自变量）和预期对象（因变量）所执行的数理统计分析处理。只有当变量与因变量的确存在某种关系时，建立的回归方程才故意义。所以，作为自变量的原因与作为因变量的预期对象能否相关，有关程度如何，以及分析该种有关程度的把握性多大，就形成执行回归分析务必要处理的困难。执行有关分析，一般要求出有关关系，以有关系数的大小来分析自变量和因变量的有关的程度。

4．检验回归预期模型，计算预期误差

回归预期模型能否可用于事实预期，取决于对回归预期模型的检验和对预期误差的计算。回归方程只有通过各种检验，且预期误差较小，才可将回归方程作为预期模型执行预期。

5．计算并确定预期值

利用回归预期模型计算预期值，并对预期值执行综合分析，确定最后的预期值。

应用回归预期法时应注意的困难

应用回归预期法时应首先确定变量之间能否存在有关关系。假使变量之间不存在有关关系，对这些变量应用回归预期法就会得出错误的结果。

正确应用回归分析预期时应注意：

①用定性分析分析现象之间的依存关系；

②避免回归预期的任无意中推；

③应用合适的报告资料；

回归分析预期法案例分析 ">编辑] 案例一:回归分析预期法预期新田公司销售

一、新田公司的成长现况

新田公司全称为新田摩托车制造有限公司，成立于1992年3月，当时的锡山市(那时还叫无锡县)有两个生产摩托车的乡镇企业：查桥镇的捷达摩托车厂和洛社镇的雅西摩托车厂。在9l、92年这两家厂可以说是如中日天，但这两家厂又各具特点：雅西摩托车厂完全是自主生产，除发动机外其余配件都由本厂生产；捷达摩托车厂则是装配型厂，配件由其余厂家生产，本厂导致组装(后来也发展成了连发动机都生产的综合型企业)。顾建新当时还导致一家村办企业的供销员，他就瞄准了摩托车行业的成长前景，于是想方设法和捷达厂获得了联系，从1992年3月起为捷达厂生产两种型号的减震器，厂名是无锡减震器厂，自此开始了企业发展的道路。

减震器厂自成立以后，伴随捷达摩托车厂摩托车年产能的持续上涨而得到了快速发展。到了1994年6月，顾建新终于有了一个极好的可能：捷达摩托车厂的销售部门和捷达摩托车的销售商造成了予盾，所以捷达摩托车的销售商同意顾建新，若顾建新也能生产出和捷达差不多质量的摩托车，则他们会在相同条件下优先销售顾建新生产的摩托车。有了这个允诺，顾建新于94年lO月就成立了新田摩托车制造有限公司，开始生产新田牌摩托车。

新田公司成立以后，在顾总和匡建中总工程师的领导下，开始了艰苦的创业过程，经历六年多的奋斗，薪田公司终于从一个20多人的小厂发展成了如今的员工总数胜过400人，日产摩托车胜过200辆，年利润胜过2000万的集团型企业，新田摩托车的配件包含发动机以内都由本企业自主生产。

新田公司如今已是一个企业集团，除公司本部(总装厂)外，仍有减震器厂、发动机厂、塑件厂、车架车间、油箱车间、喷涂车间等独立部门，这些部门除满足新田公司所需配件外，还可以对外提供。1999年末，受于摩托车市场竞争的日趋激烈，新田公司的销售模式由代理制转向了派员销售制(由公司往各城市直接派出销售人士，负责各城市的销售工作)，以降低中间环节，保证公司产品在整个摩托车市场的竞争力。同期，受于销售模式的转变，也导致了生产模式的改变：以前是依据多地代理商的订货量来组织生产，当下则必需依据销售情形和对将来销售情形的预期来组织生产，这给企业的生产组织导致了极大的问题。

2.新田公司销售的历史报告及要处理的困难新田公司从94年成立以来获得了飞跃性的成长，这可以重新田公司历年的销售报告中看出来。下面所附的表就是新田公司主导产品的销售报告。（参见下面表1.2.3.4）

从表中的报告可以看出，新田公司的生产销售事态依旧比较好的，从总的上来看是处在上升趋势，但某些车型的销售也有下滑趋势。同期，仍有一部分困难从销售报告上是看不出来的。自从公司实施派员销售制以来，受于销售的预期值预期不准，常常显现员工加班加点仍赶不上交货对间的情形和员工上了班却无事可做的情形。顾建新总经理和其余公司领导也都发现了这个困难，也寻到了原因所在，但受于技术上的原因此无法处理。所以，新田公司当前急需处理的困难就是如何来执行精准可行的销售预期，以保证公司的正常运行。

新田公司2001年第一季度销售报告

新田公司2001年第二季度销售报告

新田公司XT50-M在无锡的销售报告

二、回归分析预期法分析

回归分析预期法是通过研究分析一个应变量对一个或多个自变量的依靠关系，进而通过自变量的已知或设定值来预期和预期应变量均值的一种预期方法。

回归分析预期法又可分成线性回归分析法、非线性回归分析法、虚拟变量回归预期法三种。这三种预期方法在新田公司销售预期中都可以运用。

(一)线性回归分析法的运用

线性回归预期法是指一个或一个以上自变量和应变量之间具有线性关系(一个自变量时为一元线性回归，一个以上自变量时为多元线性回归)，配合线性回归模型，依据自变量的变动来预期应变量平均发展趋势的方法。

线性回归预期法在销售预期中用得比较多，依据新田公司销售报告的散点圈分析，作者发现新田公司的XTl50～T、XTl25～C XTl25一W三种车型的销售可以用一元线性回归预期法执行预期，受于销售报告是时间性序列，多元线性回归在此不适用。

1.预期模型

受于新田公司销售预期中只用到一元线性回归预期法，而一元线性回归又是一种普遍应用而且比较简单的预期方法，所以，只需对一元线性回归模型作简单介绍。

设X为自变量，Y为应变量，Y与X之间存在某种线性关系，一元线性回归模型为：

yi = a + bxi + εi $i=1,2,\ldots,n$ (1)

式中ε为各种随机原因y的影响总和，ε − (0,σ2)；y-N(a+bx,σ2)。则可设 $\widehat{y}i=a+b x_i$ (2)

对此，可以通过最小二乘法来预期模型的回归系数。依据最小平方原理，务必符合下方条件：

$\sum(yi-\widehat{y}i)^2$ =最小值(3)

$\sum(yi-\widehat{y}i)=0$ (4)

依据最小二乘法要求，记 $Q=\sum(yi-\widehat{y}i)^2=\sum(yi-a-b x_i)^2$

依据极值原理，为使Q具有最小值，可分别对a、b求偏导数，并令其等于零，即

$\frac{\partial Q}{\partial a}=-2\sum(yi-a-b x_i)=0$

$\frac{\partial Q}{\partial b}=-2\sum(yi-a-b x_i)x_i=0$

整理的：

$n a+b\sum x_i=\sum y_i$ $a \sum x_i+b \sum {x_i}^2=\sum x_i y_i$

对上两式联立求解，即可得到回归系数的预期值：

$\widehat{b}=\frac{n\sum x_i y_i-\sum x_i\sum yi}{n\sum x_i^2-(\sum x_i)^2}$ (5)

$\widehat{a}=\frac{\sum y_i}{n}-\widehat{b}\frac{\sum x_i}{n}$ (6)

有关系数R可依据最小二乘原理及平均数的数学性质得到：

$R=\frac{n\sum x_i y_i-\sum x_i\sum y_i}{\sqrt{n\sum x^2_i-(\sum x_i)^2}\sqrt{n\sum y^2_i-(\sum y_i)^2}}$ (7)

有关系数R的绝对值的大小表明有关程度的高低。

①当R=0时，表明是零有关，所求回归系数无效。

②当 $\left|R\right|=1$ 时，表明是完全有关，自变量X与应变量Y之间的关系为函数系。

⑧当 $o<\left|R\right|<1$ 时，表明是部分有关，渊值越大有关程度越高。

此外，预期标准差Sy，和预期区间公式参见《预期与决策技术》。

预期标准差： $S_y=\sqrt{\frac{\sum y^2-\widehat{a}\sum y-\widehat{b}\sum xy}{n-2}}$ (8)

预期区间： $\widehat{y}_0\mp i_{a/2}(n-2)S_y\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{n(x_o-\overline{x})^2}{n\sum x^2-(\sum x)^2}}$ (9)

在上式中，a为明显水平，n-2为自由度， $\widehat{y}_o$ 为y在xo的预期值。

2.预期计算

依据上面介绍的预期模型，下面就先计算XTl50-T在2001年第一季度的预期销售量。

依据XTl50-T的销售报告有：(X为时间，Y为销售量)。

n=16； $\sum x_i=136$ ； $\sum y_i=5313$ ； $\sum x_i y_i=57438$ ； $\sum x^2_i=1496$ ； $\sum y^2_i=2208979$

依据公式(5)、(6)、(7)、(8)、(9)有：

$\widehat{b}=\frac{n\sum x_i y_i-\sum x_i \sum y_i}{n\sum x^2_i-(\sum x_i)^2}=36.11$

$\widehat{a}=\frac{\sum y_i}{n}-\widehat{b}\frac{\sum x_i}{n}=25.13$

$\widehat{y_i}=a+bx_i=639$ (xi = 17)

$R=\frac{n\sum x_i y_i-\sum x_i \sum y_i}{\sqrt {n\sum x^2_i-(\sum x_i)^2}\sqrt{n\sum y^2_i-(\sum y_i)^2}}=0.998$

$S_y=\sqrt{\frac{{\sum y^2-\widehat{a}\sum y-\widehat{b}\sum xy}}{{n-2}}}=9.92$

$\widehat{y}_0\mp i_{a/2}(n-2)S_y\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{n(x_o-\overline{x})^2}{n\sum x^2-(\sum x)^2}}=639\mp27$

i0.025(14) = 2.145

以上是XT150-T的销售预期计算，同理可计算XT125-C、XT150-W的预期结果，这里不再给出计算过程而直接写出结果：

①XTl25-C的预期结果：

$\widehat{b}=73.9$ ； $\widehat{a}=-17.2$ ； $\widehat{y}_i=1682$ ；R=0.99；Sy = 16.56

预期区间为：(1641，1723) (i0.025(20) = 2.086)

②XTl25-W的预期结果：

$\widehat{b}=31.9$ ； $\widehat{a}=789$ ； $\widehat{y}_i=1523$ ；R=0.99；

Sy = 29.35

预期区间为：(1450，1596) (i0.025(20) = 2.086)

3.预期结果分析

从上面的预期结果来说，有一点非常奇怪，那就是三种车型的预期中，有关系数R都非常靠近于“1”，也就是说，这三种车型的销售量和时间差不多是线性关系，有关程度非常之高。对于这个结果，作者感觉到很吃惊，为此，特意寻到了新田公司，询问这三种车型的销售情况，这才寻到了原因。原来，这三种车型是新田公司的形象产品，差不多没有利润，和其余品牌的同类车型对比具有较大的的竞争力，因此这三种车型的销售情形一直很好。公司为了其形象，对这三种车型采取计划提供的方式，按逐年递增的方式提供市场，以使这三种车型一直维持供不应求。受于以上原因，有关系数靠近于“1”也就不奇怪了。

此外，作者把通过公式 $\widehat{y}_i=a+bx_i$ 计算得到的各期销售数和事实销售量比较发现，这三种车型有一个共同特点，那就是：第一季度的预期值一般要比事实值大，而第二季度则相反。第三、四季度则预期值和事实值相近。仔细分析原因，或许是由于这三种车型价格都比较高，受年终分配影响，第一季度销量自然较大，随后的第二季度销量就自然偏小。

对比2001年第一季度的预期值和事实值，以及上面说到的两个特点可以发现，XT150-T的预期结果比较正常，而XTl25-C、XTl25-W的预期值却显现了反而比事实值大的失常情形。通过各期预期值和事实值比较发现，原来XTl25-W从99年第二季度开始就显现预期值大于事实值的情形，依据作者对摩托车市场的了解，觉得或许是由于该种车型的销路已经显现困难，不能维持供不应求了。

XTl25-C或许也是该种情形，只然而该车型的滞销显现得稍稍晚而已。通过和新田公司销售部门的联系发现，作者的分析是正确的。

(二)非线性回归预期法的运用

非线性回归预期法是指自变量与因变量之间的关系不是线性的，而是某种非线性关系时的回归预期法。非线性回归预期法的回归模型常见的有下方几种：双曲线模型、二次曲线模型、对数模型、三角函数模型、指数模型、幂函数模型、罗吉斯曲线模型、修正指数上涨模型。

通过对新田公司销售报告的散点图分析发现，XT100-W和XT50-K这两种车型的图形靠近于抛物线形状，所以可用非线性回归的二次曲线模型来预期。

1.预期模型

非线性回归二次曲线模型为： $y_i=\beta_1+\beta_2x_i+\beta_3x^2_i+\epsilon_i$ (10)

令 $x^2_i=x^\prime_i$ ,则模型改变为： $y_i=\beta_1+\beta_2x_i+\beta_3x^\prime_i+\epsilon_i$ (11)

上式的矩阵形式为：Y = XB + ε(12)

用最小二乘法作参数预期，可设观察值与模型预期值的残差为E，则

$E=Y-\widehat{Y}$ ， $\widehat{Y}=XB$

依据小二乘法要求有：

$E^\prime E=(Y-\widehat{Y})^\prime(Y-\widehat{Y})$ =最小值，(13)

即： $E^\prime E=(Y-XB)^\prime(Y-XB)$ =最小值

由极值原理，依据矩阵求导法，对B求导，并令其等于零，得：

$\frac{\partial E^\prime E}{\partial B}=\frac{\partial(Y-XB)^\prime(Y-XB)}{\partial B}=\frac{\partial(Y^\prime Y-2Y^\prime X B+B^\prime X^\prime XB)}{\partial B}$

$=-2(Y^\prime X)^\prime+2(X^\prime X)B=0$

整理得回归系数向量B的预期值为： $\widehat{B}=(X^\prime X)^{-1}(X^\prime Y)$ (14)

二次曲线回归中最常用的检验是R检验和F检验，公式如下：

$R=\sqrt{1-\frac{\sum(y_i-\widehat{y})^2}{\sum(y_i-\overline{y})^2}}$ (15)

$F=\frac{R^2}{1-R^2}(n-3)/2$ (16)

在事实工作中，R的计算可用下方简捷公式：

$R=\sqrt{1-\frac{\sum y^2_i-\widehat{\beta}_1\sum y_i-\widehat{\beta}_2\sum x_i y_i-\widehat{\beta}_3\sum x^\prime_i y_i}{\sum y^2_i-n\overline{y}^2}}$ (17)

预期标准误差为：

$S=\sqrt {\frac{\sum(y_i-\widehat{y}_i)^2}{n-3}}$ (18)

预期区间为：

$\widehat{y}_o\mp i_{a/2}(n-3)$ ·S (n<30)(19)

$\widehat{y}_o\mp Z_{a/2}$ ·S (n>30)(20)

2.预期计算

依据上面介绍的预期模型，下面就先执行XT100-W的预期计算。

依据XTl00-W的销售报告及(11)、(14)、(17)、(18)、(19)有(xi为时间变量)：

$X^\prime X=\begin{bmatrix}1&1&\ldots&1\\1&2&\ldots&24\\1&4&\ldots&576\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&1&1\\1&2&4\\1&24&576\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}24&300&4900\\300&4900&90000\\4900&90000&1763020\end{bmatrix}$

$X^\prime Y=\begin{bmatrix}36321\\526630\\8913322\end{bmatrix}$ 。

$\widehat{B}=(X^\prime X)^{-1}(X^\prime Y)=\begin{bmatrix}-60.66\\244.23\\-7.25\end{bmatrix}$

$\widehat{y}_i=\widehat{\beta}_1+\widehat{\beta}_2x_i+\widehat{\beta}_3x^2_i=1514$ (x_i=25)

$\sum y^2_i=61953607$ ； $\sum y_i=36321$ ； $\sum x_i y_i=526630$ ； $\sum x_i^\prime y_i=8913322$

$R=\sqrt{1-\frac{\sum y^2_i-\widehat{\beta}_1\sum y_i-\widehat{\beta}_2\sum x_i y_i-\widehat{\beta}_3\sum x^\prime_i y_i}{\sum y^2_i-n\overline{y}{2}}}=0.977$

$S=\sqrt{\frac{\sum(y_i-\widehat{y}_i)^2}{n-3}}=67.8$

$\widehat{y}_o\mp i_{a/2}$ (n-3)· $S=1514\mp141$ (i0.025(21) = 2.080)

下面再计算XT50-K的预期结果。

依据XT50-K的销售报告及公式(11) 、(14)、(17)、(18)、(19)有：

$(X^\prime X)^{-1}=\begin{bmatrix}0.445158103&-0.072628458&0.002470356\\-0.072628458&0.015121618&-0.000570082\\0.002470356&-0.000570082&0.000022803\end{bmatrix}$

$(X^\prime Y)\begin{bmatrix}32089\\451328\\7439514\end{bmatrix}$

$\widehat(X^\prime X)^{-1}(X^\prime Y)=\begin{bmatrix}-116.33\\253.10\\-8.38\end{bmatrix}$

$\widehat{y}_i=\widehat{\beta}_1+\widehat{\beta}_2x_i+\widehat{\beta}_3x^2_i=974(x_i=25)$

$\sum y^2_i=48243681$ ； $\sum y_i=32089$ ； $\sum x_iy_i=451328$ ； $\sum x^\prime y_i=7439514$

$R=\sqrt{1-\frac{\sum y^2_i-\widehat{\beta}_1\sum y^2_i-\widehat{\beta}_2\sum x_i y_i-\widehat{\beta}_3\sum x^\prime_i y_i}{\sum y^2_i-n\widehat{y}^{2}}}=0.992$

$\widehat{y}_0 \mp t_{\frac{a}{2}}(n-3)\cdot S=1514\mp 141$ (t0.025(21) = 2.080)

下面再计算XT50—K的预期结果。

依据XT50---K的销售报告及公式(11)、(14)、(17)、(18)、(19)有：

$X^\prime X=\begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 2 & \cdots & 24 \\ 1 & 4 & \cdots & 576 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & 24 & 576 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 24 & 3300 & 4900 \\ 300 & 4900 & 90000 \\ 4900 & 90000 & 1763020 \end{pmatrix}$

$(X^\prime X)^{-1}=\begin{pmatrix} 0.445158103 & -0.072628458 & 0.002470356 \\ -0.072628458 & 0.015121618 & -0.000570082 \\ 0.002470356 & -0.000570082 & 0.000022803 \end{pmatrix}$

$X^\prime Y=\begin{pmatrix} 32089 \\ 451328 \\ 7439514 \end{pmatrix}$ $\widehat{B}=(X^\prime X)^{-1}(X^\prime Y)=\begin{pmatrix} -116.33 \\ 253.10 \\-8.38 \end{pmatrix}$

$\widehat{y}_i=\widehat{\beta}_1+\widehat{\beta}_2 x_i+\widehat{\beta}_3 x_i^2=974$ (xi = 25)

$\sum y_i^2=48243681$ ; $\sum y_i=32089$ ; $\sum x_i y_i=451328$ ; $\sum x_i^\prime y_i=7439514$

$R=\sqrt{1-\frac{\sum y_i^2-\widehat{\beta}_1\sum y_i-\widehat{\beta}_2\sum x_i y_i-\widehat{\beta}_3\sum x_i^\prime y_i}{\sum y_i^2-n\overline{y}^2}}=0.992$

$S=\sqrt{\frac{\sum(y_i-\widehat{y}_i)^2}{n-3}}=56.75$

$\widehat{y}_0\mp t_{\frac{a}{2}}(n-3)\cdot S=974 \mp 118$ t0.025(21) = 2.080

3.预期结果分析

从2001年第一季度的预期结果和事实值的比较来说，预期还算是可行的，XTl00—W和XT50—K的事实销售量均在预期规模之内，回归系数也都靠近于1，表明这两种车型选取非线性回归的二次曲线模型依旧比较合适的。但是，还应当目睹，两种车型的预期结果中预期标准差S都比较大，表明回归曲线和事实销售报告的拟合情形并没有太好，而S数值的偏大同期也导致了预期规模较大的后果。所以，预期精度较差。

诚然了，事实工作中不或许会有真正符合某条曲线的报告存在，只能是从散点图来说大差不差符合某种曲线，就用该种曲线来执行拟合，以求大差不差的预期结果。所以，对于XTl00—W和XT50—K的预期依旧可行的。

再更深一步考虑，XTl00—W的预期值比事实值大了66，表明事实下滑趋势比预期的要小，而XT50—K的情形则刚好相反。假使消除偶然原因的话，有机会XTlOO—w销售量的下滑趋势在减缓，而XT50—K则相反，下滑趋势在加重。联系事实情形，作者觉得是50车型的销量因竞争的日益加重和政策的影响而增速下跌，而100车型则或许是受于公司的付出而减低了销量下滑的进展。作者的这个想法在后来和新田公司总工程师匡建中的交流中得到了验证。

(三)虚拟变量回归预期法的运用

在回归模型分析中，有时还要考虑诸如性别、文化程度、宗教、战争、灾难、季节以及政府经济政策改变等品质变量的影响。这时，可在建立回归模型时将品质变量引入线性回归模型中，该种回归预期法就是虚拟变量回归预期法。

常见的带虚拟变量的回归模型有下方三种形式：

(1)反应政府政策改变或某种原因发生巨大变异的跳跃、间断式模型。

(2)具有拐点的系统趋势改变模型。

(3)含有多个虚拟变量的线性回归模型。

虚拟变量回归预期法的适用性一般在散点图上清晰看出。在表(1.1)中的报告都不适用。然而，作者发现新田公司的XT50—M在无锡的销售倒是适合用具有拐点的系统趋势改变模型来执行预期。

1.预期模型

受于只有XT50—M在无锡的销售适合用具有拐点的系统趋势改变模型来执行预期(见是表4)下面仅介绍具有拐点的系统趋势改变模型。

具有拐点的系统趋势改变模型为：

yi = β1 + β2xi + β3(xi − x0)Di + εi(21)

式中Di为虚拟变量，Di的取值为 $D_i=\begin{cases} 0 & i<i_o \\ 1 & i\ge i_o \end{cases}$

io为发生拐点的时间，xo为io时间xi的观察值。(21)可变形为：

$y_i=\begin{cases} \beta_1+\beta_2 x_i+\epsilon_i & i<i_o \\(\beta_1-\beta_3 x_o)+(\beta_2+\beta_3)x_i+\epsilon_i & i\ge i_o \end{cases}$

依据(21)，可令 $(x_i-x_o)D_i=x^\prime_i$ ,，则该虚拟变量回归转化为二元线性回归，可用二元线性回归的计算方法计算。

2)预期计算

经历对散点图观察发现，1998年第四季度为拐点，即i0 = 12，由表(4)的报告及(14)、(17)、(18)、(19)、(21)可得：

$X^\prime=\begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 &\cdots & 12 & 13 & 14 & \cdots & 20 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 2 & \cdots &8 \end{pmatrix}$

$X^\prime X=\begin{pmatrix} 20 & 210 & 36 \\ 210 & 2870 & 636 \\ 36 & 636 & 204 \end{pmatrix}$ $X^{\prime} Y=\begin{pmatrix} 4169 \\ 42815 \\5625 \end{pmatrix}$

$(X^\prime X)^{-1}=\begin{pmatrix} 0.34799 & -0.03835 & 0.05814 \\ -0.03835 & 0.00535 & -0.00992 \\ 0.05814 & -0.00992 & 0.02557 \end{pmatrix}$

$\widehat{B}=(X^\prime X)^{-1}(X^\prime Y)=\begin{pmatrix} 135.85 \\ 13.38 \\ -38.51 \end{pmatrix}$

$\widehat{y}_i = \widehat{\beta}_1+\widehat{\beta}_2 x_i+\widehat{\beta}_3(x_i-x_0)D_1=70$ xi = 21

$\sum y_i^2=929653$ ； $\sum y_i=4169$ ； $\sum x_i y_i=42815$ ； $\sum x_i^\prime y_i=5625$

$R=\sqrt{1-\frac{\sum y_i^2-\widehat{\beta}_1 \sum y_i-\widehat{\beta}_2\sum x_i y_i-\widehat{\beta}_3 \sum x_i^\prime y_i}{\sum y_i^2-n\overline{y}^2}}=0.94$

$S=\sqrt{\frac{\sum(y_i-\widehat{y}_i)^2}{n-2}}=7.58$

$\widehat{y}_0\mp t_{\frac{a}{2}}(n-2)\cdot S=70\mp 16$ (t0.025(18) = 2.101)

3.预期结果分析

新田公司的XT50—M2001年第一季度在无锡的事实销售量为55辆，和预期结果对比，可以说仍在预期规模内，表明该车型在无锡的销售用虚拟变量回归预期法预期依旧比较成功的。而之所以会在98年第四季度显现拐点，作者依旧了解的，原因就在于98年第四季度无锡市发布了50车型不允许上推动车牌照的规定，进而引起了50车型在无锡的销售量逐渐降低。诚然了，该种情形销售预期中显现得不多，所以运用也不是很广。

三、回归分析法归纳

回归分析预期法是一类比较经典，也比较实用的预期方法。正是受于它经典，所以也就成熟，再加之比较容易理解，运用也就比较普遍。对比之下，其中的线性回归预期法和非线性回归预期法的运用更广些。在事实运用过程中，假使在选择具体的方法和模型时能对报告作较为详细的分析，对散点图的观察分析也能仔细一点的话，预期结果也就会比较让人满意的。诚然了回归分析最大的特点就是在偶然中发现必然，而事实情形却常常是千变万化的，有时偶然原因的影响也会胜过必然，这时预期结果也就不能很如意，这就要求在预期工作中不能机械，要会灵活运用，要注意了解会影响预期结果的偶然情形，以便对预期结果执行适当修正，如此才可使预期结果更靠近事实，也才可使预期能更好地为经济建设服务。重新田公司的回归分析预期结果来说，用线性回归预期法来预期XTl50-T、XTl25—C和XTl25一W都得到了比较满意的结果，而且各类指标也比较好，用虚拟变量回归预期法预期XT50—M也得到了满意的结果。所以可以差不多确定，用上述的预期方法来预期新田公司的这几种车型是可行的。(参见下面二图)。

参考文献 ↑ 钱晓星.新田公司摩托车销售预期研究.2002

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