指数平滑法

简介

指数平滑法是生产预期中常用的一种方法。也用于中短时间经济发展趋势预期，所有预期方法中，指数平滑是用得最多的一种。简单的全期平均法是对时间数列的以往报告一个不漏地全部加以同等利用；移动平均法则不考虑较远期的报告，并在加权移动平均法中予以最近资料更大的权重；而指数平滑法则兼容了全期平均和移动平均所长，不舍弃以往的报告，但是仅予以渐渐降低的影响程度，即伴随报告的远离，赋予渐渐收敛为零的权数。

也就是说指数平滑法是在移动平均法基础上发展起来的一种时间序列分析预期法，它是通过计算指数平滑值，配合适当的时间序列预期模型对现象的将来执行预期。其原理是任一期的指数平滑值均为本期事实观察值与前一期指数平滑值的加权平均。基本公式

指数平滑法的基本公式是：St=ayt+(1-a)St-1 式中，

St--时间t的平滑值；

yt--时间t的事实值；

St-1--时间t-1的事实值；

a--平滑常数，其取值规模为[0,1]；

由该公式可知：

1.St是yt和 St-1的加权算数平均数，伴随a取值的大小改变，决定yt和 St-1对St的影响程度，当a取1时，St= yt；当a取0时，St= St-1。

2.St具有逐期追溯性质，可探源至St-t+1为止，包含全部报告。其过程中，平滑常数以指数形式递减，故称之为指数平滑法。指数平滑常数取值举足轻重。平滑常数决定了平滑水平以及对预期值与事实结果之间差异的响应速度。平滑常数a越靠近于1，远期事实值对本期平滑值的下滑越快速；平滑常数a越靠近于 0，远期事实值对本期平滑值影响程度的下滑越迟缓。自此，当时间数列相对稳定时，可取较大的a；当时间数列波动较大时，应取较小的a，以不忽视远期事实值的影响。生产预期中，平滑常数的值取决于产品自身和管理者对不错响应率内涵的理解。

3.即使St包含有全期报告的影响，但事实计算时，仅需要两个数值，即yt和 St-1，再加之一个常数a，这就使指数滑动平均具逐期递推性质，进而给预期导致了极大的方便。

4.依据公式S1=ay1+(1-a)S0，当欲用指数平滑法时才开始收集报告，则不存在y0。无从造成S0，自然无法据指数平滑公式求出S1，指数平滑法定义S1为初始值。初始值的确定也是指数平滑过程的一个重要条件。

假使能够寻到y1以前的历史资料，那么，初始值S1的确定是不成困难的。报告较少时可用全期平均、移动平均法；报告较多时，可用最小二乘法。但不能运用指数平滑法自身确定初始值，由于报告必会枯竭。

假使只有从y1开始的报告，那么确定初始值的方法有：

1）取S1等于y1；

2）待积攒若干报告后，取S1等于前面若干报告的简单算术平均数，如：S1=（y1+ y2+y3）/3等等。预期公式

据平滑次数不同，指数平滑法分为：一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等。

一次指数平滑预期

当时间数列无显著的趋势改变，可用一次指数平滑预期。

其预期公式为：yt+1'=ayt+(1-a)yt' 式中，yt+1'--t+1期的预期值，即本期（t期）的平滑值St ； yt--t期的事实值； yt'--t期的预期值，即上期的平滑值St-1 。

该公式又可以写作：yt+1'=yt'+a(yt- yt')。可见，下期预期值又是本期预期值与以a为折扣的本期事实值与预期值误差之和。

二次指数平滑预期

二次指数平滑是对一次指数平滑的再平滑。它适用于具线性趋势的时间数列。其预期公式为：

yt+m=(2+am/(1-a))yt'-(1+am/(1-a))yt=(2yt'-yt)+m(yt'-yt) a/(1-a)式中，yt= ayt-1'+(1-a)yt-1 显然，二次指数平滑是一直线方程，其截距为：(2yt'-yt)，斜率为：(yt'-yt) a/(1-a),自变量为预期天数。

三次指数平滑预期

三次指数平滑预期是二次平滑基础上的再平滑。

其预期公式是：yt+m=(3yt'-3yt+yt)+[(6-5a)yt'-(10-8a)yt+(4-3a)yt]*am/2(1-a)2+ (yt'-2yt+yt')*a2m2/2(1-a)2 式中，yt=ayt-1+(1-a)yt-1

它们的基本思想均为：预期值是以前观测值的加权和，且对不同的报告予以不同的权，新报告给较大的权，旧报告给较小的权。趋势调整

一段时期内收集到的报告所呈现的上升或下滑趋势将致使指数预期落后于事实需求。通过趋势调整，添加趋势修正数，可以在一定程度上改进指数平滑预期结果。调整后的指数平滑法的公式为：

包含趋势预期(YITt)=新预期（Yt）+趋势校正（Tt）

执行趋势调整的指数平滑预期有三个步骤：

1、 利用前面介绍的方法计算第t期的简单指数平滑预期（Yt）；

2、 计算趋势。其公式为： Tt=(1-b)Tt-1+b(Yt-Yt-1)其中，

Tt=第t期经历平滑的趋势；

Tt-1=第t期上期经历平滑的趋势；

b=选择的趋势平滑系数；

Yt=对第t期简单指数平滑预期；

Yt-1=对第t期上期简单指数平滑预期。

3、计算趋势调整后的指数平滑预期值（YITt).计算公式为：YITt=Yt+Tt。具体应用

指数平滑模型的建立

指数平滑法一般有一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法。指数平滑法的预期模型为：

初始值的确定，即第一期的预期值。一般原数列的项数较多时（大于15项），可以选用第一期的观察值或选用比第一期前一期的观察值作为初始值。假使原数列的项数较少时（差于15项），可以选取最初几期（一般为前三期）的平均数作为初始值。指数平滑方法的选用，一般可依据原数列散点图呈现的趋势来确定。如呈现直线趋势，选用二次指数平滑法；如呈现抛物线趋势，选用三次指数平滑法。或者，当时间序列的报告经二次指数平滑处理后，仍有曲率时，应用三次指数平滑法。

指数平滑系数α的确定

指数平滑法的计算中，核心是α的取值大小，但α的取值又容易受主观影响，所以合理确定α的取值方法十分重要，一般来看，假使报告波动较大，α值应取大一部分，可以增长最近报告对预期结果的影响。假使报告波动稳定，α值应取小一部分。理论界一般觉得有下方方法可供选择：

经验分析法。该种方法首要依靠于时间序列的成长趋势和预期者的经验作出分析，当时间序列呈现较平稳的水准趋势时，应选较小的α值，一般可在0.05～0.20之间取值；当时间序列有波动，但长期趋势改变不大时，可选稍大的α值，常在0.1～0.4之间取值；当时间序列波动很大，长期趋势改变程度较大，呈现显著且快速的上升或下滑趋势时，宜选择较大的α值，如可在0.6～0.8间选值，以使预期模型灵敏度高些，能快速跟上报告的改变；当时间序列报告是上升（或下滑）的成长趋势类型，α应取较大的值，在0.6~1之间。

试算法。依据具体时间序列情形，参照经验分析法，来大差不差确定额定的取值规模，然后取几个α值执行试算，比较不同α值下的预期标准误差，选取预期标准误差最小的α。

在事实应用中预期者应结合对预期对象的改变规律作出定性分析且计算预期误差，并要顾虑到预期灵敏度和预期精度是相互冲突的，务必予以二者适当的考虑，采取折中的α值。

销售预算中的具体应用

以某软件公司A为例，给出2000-2005年的历史销售资料，将报告代入指数平滑模型，预期2006年的销售额，作为销售预算编制的基础。

依据经验分析法，A公司2000-2005年销售额时间序列波动很大，长期趋势改变程度较大，呈现显著且快速的上升趋势，宜选择较大的α值，可在0.5～0.8间选值，以使预期模型灵敏度高些，结合试算法取0.5，0.6,0.8分别试探。经历首次指数平滑后，数列散点图呈现直线趋势，故选用二次指数平滑法即可。

依据偏差平方的均值（MSE）最小，即各期事实值与预期值差的平方和除以总期数，以最小值来确定α的取值的标准，经测算当α=0.6时，MSE1=1445.4；当α=0.8时，MSE2=10783.7；当α=0.5时，MSE3=1906.1。所以选择α=0.6来预期2006年4个季度的销售额。