最大似然估计

最大似然预期简述

最大似然预期是一种统计方法，它用来求一个样本集的有关几率密度函数的参数。这个方法最早是遗传学家以及统计学家罗纳德·费雪爵士在1912年到1922年间开始运用的。

“似然”是对likelihood 的一种较为贴近文言文的翻译，“似然”用现代的中文来看即“机会”。故而，若称之为“最大机会预期”则愈加通俗易懂。

最大似然法清晰地运用几率模型，其目标是寻求能够以较高几率造成观察报告的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。该方法在每组序列比对中考虑了每个核苷酸替换的几率。

比如，转换显现的几率大概是颠换的三倍。在一个三条序列的比对中，假使发现其中有一列为一个C，一个T和一个G，我们有理由觉得，C和T所处的序列之间的关系很有机会更靠近。受于被研究序列的共同祖先序列是未知的，几率的计算变得复杂；又受于或许在一个位点或多个位点发生多次替换，而且不是所有的位点均为相互独立，几率计算的复杂度更深一步加大。即使这样，依旧能用客观标准来计算每个位点的几率，计算表明序列关系的每棵或许的树的几率。然后，依据定义，几率总和最大的那棵树最有机会是反应真实情形的系统发生树。

最大似然预期的原理

给定一个几率分布D，假定其几率密度函数（接连分布）或几率聚集函数（离散分布）为fD，以及一个分布参数θ，我们可以从这个分布中抽出一个具有n个值的采样 $X_1, X_2,\ldots, X_n$ ，通过利用fD，我们就能计算出其几率：

$\mathbb{P}(x_1,x_2,\dots,x_n) = f_D(x_1,\dots,x_n \mid \theta)$

但是，我们或许不晓得θ的值，即使我们知道这些采样报告来自于分布D。那么我们如何才可预期出θ呢？一个自然的想法是从这个分布中抽出一个具有n个值的采样X1,X2,...,Xn，然后用这些采样报告来预期θ.

一旦我们得到 $X_1, X_2,\ldots, X_n$ ，我们就能从中寻到一个有关θ的预期。最大似然预期会寻求有关 θ的最或许的值（即，在所有机会的θ取值中，寻求一个值使这个采样的“机会”最大化）。该种方法恰好同一部分其余的预期方法不同，如θ的非偏预期，非偏预期未必会输出一个最或许的值，而是会输出一个既不高估也不低估的θ值。

要在数学上达到最大似然预期法，我们首先要定义机会:

$\mbox{lik}(\theta) = f_D(x_1,\dots,x_n \mid \theta)$

而且在θ的所有取值上，使这个注意这里的机会性是指 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 不变时，有关θ的一个函数。最大似然预期函数不一定是惟一的，甚至不一定存在。最大似然预期的例子离散分布，离散有限参数空间

考虑一个抛硬币的例子。如果这个硬币正面跟反面轻重不同。我们把这个硬币抛80次（即，我们获取一个采样 $x_1=\mbox{H}, x_2=\mbox{T}, \ldots, x_{80}=\mbox{T}$ 并把正面的次数记下来，正面记为H，反面记为T）。并把抛出一个正面的几率记为p，抛出一个反面的几率记为1 − p（所以，这里的p即相当于上边的θ）。如果我们抛出了49个正面，31 个反面，即49次H，31次T。如果这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。这三个硬币抛出正面的几率分别为p = 1 / 3, p = 1 / 2, p = 2 / 3. 这些硬币没有标记，所以我们无法知道哪个是哪个。运用最大似然预期，通过这些试验报告（即采样报告），我们可以计算出哪个硬币的机会性最大。这个机会函数取下方三个值中的一个：

$\begin{matrix} \mathbb{P}(\mbox{H=49, T=31 }\mid p=1/3) & = & \binom{80}{49}(1/3)^{49}(1-1/3)^{31} \approx 0.000 \\ &&\\ \mathbb{P}(\mbox{H=49, T=31 }\mid p=1/2) & = & \binom{80}{49}(1/2)^{49}(1-1/2)^{31} \approx 0.012 \\ &&\\ \mathbb{P}(\mbox{H=49, T=31 }\mid p=2/3) & = & \binom{80}{49}(2/3)^{49}(1-2/3)^{31} \approx 0.054 \\ \end{matrix}$

我们可以目睹当 $\widehat{p}=2/3$ 时，机会函数获得最大值。这就是p的最大似然预期.

离散分布，接连参数空间

当下如果例子1中的盒子中有无多个硬币，对于 $0\leq p \leq 1$ 中的任何一个p，都有一个抛出正面几率为p的硬币对应，我们来求其机会函数的最大值：

$\begin{matrix} \mbox{lik}(\theta) & = & f_D(\mbox{H=49,T=80-49}\mid p) = \binom{80}{49} p^{49}(1-p)^{31} \\ \end{matrix}$

其中 $0\leq p \leq 1$ .我们可以运用微分法来求最值。方程两边同期对p取微分，并使其为零。

$\begin{matrix} 0 & = & \frac{d}{dp} \left( \binom{80}{49} p^{49}(1-p)^{31} \right) \\ & & \\ & \propto & 49p^{48}(1-p)^{31} - 31p^{49}(1-p)^{30} \\ & & \\ & = & p^{48}(1-p)^{30}\left \\ \end{matrix}$

在不同比例参数值下一个二项式过程的机会性曲线 t = 3, n = 10；其最大似然预期值发生在其众数(数学)并在曲线的最大值处。

其解为p = 0, p = 1，以及p = 49 / 80. 使机会最大的解显然是p = 49 / 80（由于p = 0 和p = 1 这两个解会让机会为零）。所以我们说最大似然预期值为 $\widehat{p}=49/80$ .

这个结果很容易一般化。只需要用一个字母t代替49用以表达伯努利试验中的被观察报告（即样本）的'成功'次数，用其他字母n代表伯努利试验的次数即可。运用完全同样的方法即可以得到最大似然预期值:

$\widehat{p}=\frac{t}{n}$

对于任何成功次数为t，试验总数为n的伯努利试验。

接连分布，接连参数空间

最常见的接连几率分布是正态分布，其几率密度函数如下：

$f(x\mid \mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

其n个正态随机变量的采样的对应密度函数（如果其独立并服从同一分布）为：

$f(x_1,\ldots,x_n \mid \mu,\sigma^2) = \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^\frac{n}{2} e^{-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

或：

$f(x_1,\ldots,x_n \mid \mu,\sigma^2) = \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^{n/2} \exp\left(-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$ ,

这个分布有两个参数：μ,σ2. 有人或许会担忧两个参数与上边的讨论的例子不同，上边的例子都导致在一个参数上对机会执行最大化。事实上，在两个参数上的求最大值的方法也差不多：只需要分别把机会 $\mbox{lik}(\mu,\sigma) = f(x_1,,\ldots,x_n \mid \mu, \sigma^2)$ 在两个参数上最大化即可。诚然这比一个参数麻烦一部分，但是一点也不复杂。运用上边例子同样的符号，我们有θ = (μ,σ2).

最大化一个似然函数同最大化它的自然对数是等价的。由于自然对数log是一个接连且在似然函数的值域内严格递增的函数。性质泛函不变性（Functional invariance）

假使 $\widehat{\theta}$ 是 θ的一个最大似然预期，那么α = g(θ)的最大似然预期是 $\widehat{\alpha} = g(\widehat{\theta})$ . 函数 g 无需是一个——映射。

渐近线举动

最大似然预期函数在采样样本总数趋于无穷的时机高达最小方差（其证明可见于Cramer-Rao lower bound）。当最大似然预期非偏时，等价的，在极限的情形下我们可以称其有最小的均方差。对于独立的观察来看，最大似然预期函数经常趋于正态分布。

偏差

最大似然预期的非偏预期偏差是非常重要的。考虑如此一个例子，标有1到n的n张票放在一个盒子中。从盒子中随机抽取票。假使n是未知的话，那么n的最大似然预期值就是抽出的票上标有的n，即使其期望值的只有(n + 1) / 2. 为了预期出最高的n值，我们能确定的只能是n值不差于抽出来的票上的值。

">编辑]最大似然预期的一般求解步骤

基于对似然函数L(θ)形式(一般为连乘式且各因式>0)的考虑，求θ的最大似然预期的一般步骤如下：

(1)写出似然函数

$L\theta=\prod_{i=1}^n p(x_i;\theta)$ (总的X为离散型时)

或 $L\theta=\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)$ (总的X为接连型时)

(2)对似然函数两边取对数有

$lnL\theta=\sum_{i=1}^n lnp(x_i;\theta)$

或 $lnL\theta=\sum_{i=1}^n lnf(x_i;\theta)$

(3)对lnL\theta求导数并令之为0：

$\frac{dlnL\theta}{d\theta}=0$

此方程为对数似然方程。解对数似然方程所得，即为未知参数的最大似然预期值。

例1

设总的X~N(μ，σ2),μ，σ2为未知参数，X1,X2...,Xn是来自总的X的样本，X1,X2...,Xn是对应的样本值，求μ与σ2的最大似然预期值。

解 X的几率密度为

f(x;μ，σ2)= $\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}$ ( $-\infty$ ),

可得似然函数如下：

L(μ，σ2)= $\prod_{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2{\sigma}^2}}$

取对数，得

lnL(μ，σ2)= $-\frac{n}{2}ln(2\pi)-\frac{n}{2}ln(\sigma^2)-\frac{1}{2{\delta}^2}\sum_{i=1}^n{(x_i-\mu)}^2$

令

$\begin{cases}\frac{\partial}{\partial\mu}ln L(\mu,\sigma)=0,\\\frac{\partial}{\partial\sigma^2}\ln L(\mu,\sigma)=0,\end{cases}$

可得

$\begin{cases}\frac{1}{\sigma^2}(\sum_{i=1}^2x_i-n\mu)=0,\\-\frac{n}{2\sigma^2}+\frac{1}{2(\sigma^2)^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2=0.\end{cases}$

解得

$\begin{cases}\widehat{\mu}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i=\overline{x}, \\\widehat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2.\end{cases}$

故μ和δ2的最大似然预期量分别为

$\widehat{\mu}=\overline{X}$ ， $\widehat{\delta^2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2$

参考文献 ↑ 王翠香编著.几率统计.北京大学出版社,2010.02

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