矩阵决策法

矩阵决策法的基本要素

1.状态变量：指或许影响决策后果的各种客观外界情形或自然状态．是不可控原因，记为:

$mathbf{x_j(j=1,2,....,n),}$ 并设 $mathbf{X=mid x_1,x_2,....,x_n mid}$ 为所有自然状态的集合。

2.决策变量：指制定人所采取的各种行动方案,是可控原因。记为: $mathbf{A_i(i=1,2,....,m)}$ ,并设 $mathbf{A={A_1,A_2,....A_m}}$ 为所有方案的集合。

3.几率：指各种自然状态显现的几率。记为: $mathbf{P(x_j)}$ 且 $mathbf{0le P(x_j) le1}$ , $sum_{j=1}^n p(x_j=1)$

其中 $mathbf{P(x_j)}$ 可以是先验几率，也可以是后验几率。

4.损益值：在第j种自然状态下选取第种方案所得结果的损益值，记为: $mathbf{V_{i,j}}$ 。

矩阵决策法的求解方法

由事实困难给出的条件列出矩阵决策表。一般情形下，是将上述四要素列表如下表:

由表l所给的具体报告，利用期望公式: $mathbf{E(A_i)=}$ $sum_{j=1}^n V_{i,j}p(x_j)$

令 $B=egin{bmatrix} V_11 & cdots & V_1n \ vdots & ddots & vdots \ V_m1 & cdots & V_mnend{bmatrix}$ , $P=egin{Bmatrix} p(x_1) \ p(x_2) \ ... \ p(x_n) end{Bmatrix}$ , $E(A)=egin{Bmatrix} E(A_1) \ E(A_2) \ ... \ E(A_n) end{Bmatrix}$ 。

则有 $E(A)=BP=egin{bmatrix} V_11 & cdots & V_1n \ vdots & ddots & vdots \ V_m1 & cdots & V_mnend{bmatrix}egin{Bmatrix} p(x_1) \ p(x_2) \ ... \ p(x_n) end{Bmatrix}=egin{Bmatrix} sum_{j=1}^n V_{1,j}p(x_j) \ sum_{j=1}^n V_{2,j}p(x_j) \ ... \ sum_{j=1}^n V_{m,j}p(x_j) end{Bmatrix}$

利用最优期望准则公式 $E(A_1)=max mid E(A_1),E(A_2),<br>,E(A_m) mid$ ，确定最优行动方案。

当我们利用公式(1)计算出各行动方案的期望值后，加以比较．再由决策目标要求选择期望值最大(或最小)的行动方案为最优方案。假使表1中的 $mathbf{V_{i,j}}$ ,是收益值．且决策目标使收益最大，则期望值最大的为最优行动方案；假使 $mathbf{V_{i,j}}$ ,决策目标是使损失最小，则选取期望值最小的为最优行动方案。

矩阵决策法的应用举例^[1]

例1：某出租汽车公司在甲、乙、丙三处设立了-租车与还车处，顾客可以在甲、乙、丙任一处租车．也可在任一处还车。已知顾客在三处租车是等或许的．还车几率如下表所示．假使该公司想选择一处设立汽车保修厂．间设在何处比较适宜?

解：将还车几率看作设立汽车保修厂的损失值。

令 $B=egin{bmatrix} 0.8 & cdots & 0.2 \ vdots & ddots & vdots \ 0 & cdots & 0.6end{bmatrix}$ , $P=egin{Bmatrix} frac{1}{3} \ frac{1}{3} \ frac{1}{3} end{Bmatrix}$ ,

$E(A)=egin{bmatrix} 0.8 & cdots & 0.2 \ vdots & ddots & vdots \ 0 & cdots & 0.6end{bmatrix}$ $P=egin{Bmatrix} frac{1}{3} \ frac{1}{3} \ frac{1}{3} end{Bmatrix}=egin{Bmatrix} 0.40 \ 0.13 \ 0.43 end{Bmatrix}$

由计算出的期望值目睹，经历一定期间的运营后，该公司的每部出租车将被还到甲处的几率为0.40，还到乙处的几率为0.13，还到丙处的几率为0.47。故保修厂应设在丙处为宜。

例2:一名病人患某种疾病，该疾病表现的病型为：X₁,X₂,X₃,X₄。医生可以采取下述五种医治方中的一种：放射疗法（A₁），化学疗法（A₂），手术疗法（A₃），药物疗法（A₄）和针灸疗法（A₅）。已知此疾病显现为各种病型的几率p(x_j)及各种医治方案对不同病型的损益值V_ij如下表所示。试确定最优医治方案。

解令 $B=egin{bmatrix} 4 & 5 & 6 & 7 \ 2 & 4 & 6 & 9 \ 5 & 7 & 3 & 5 \ 2 & 5 & 8 & 8 \ 3 & 5 & 5 & 5 end{bmatrix}$ , $P=egin{bmatrix}0.2 \ 0.4 \ 0.1 \ 0.3 end{bmatrix}$ ,则 $E(A)=BP=egin{bmatrix} 5.5 \ 5.3 \ 5.6 \ 5.6 \ 4.6 end{bmatrix}$

比较计算所得的期望值，手术疗法（A₃）和药物疗法（A₄）都比较好。而 $E(A_3)=5.6-3=2.6<E^prime(A_4)=5.6-2=3.6$ 。故最优医治方案为手术疗法。

参考文献

↑ 周宏安.矩阵决策法及其应用.《陕西工学院学报》.2001年1期

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