简述
内部收益率，就是资金流入现值总额与资金流显现值总额相等、净现值等于零时的折现率。假使不运用电子计算机，内部收益率要用若干个折现率执行试算，直至寻到净现值等于零或靠近于零的那个折现率。内部收益率，是一项投资可望高达的报酬率，是能使投资项目净现值等于零时的折现率。
简介
内部收益率又称财务内部收益率(FIRR)，是资金流入现值总额与资金流显现值总额相等、净现值等于零时的折现率。它是一项投资可望高达的报酬率，该指标越大越好。一般情形下，内部收益率大于等于基准收益率时，该项目是可行的。投资项目各年现金流量的折现值之和为项目的净现值，净现值为零时的折现率就是项目的内部收益率。
现在，股票、基金、黄金、房产、期货等投资方式已为大量理财者所熟悉和运用。但投资的成效如何，很多人的理解仅仅限于收益的绝对量上，缺乏科学的分析根据。对于他们来看，内部收益率(IRR)指标是个不可或缺的工具。Internal Rate of Return（内部收益率法）
内部收益率是指使项目的期望现金流入量总现值等于项目的投资成本总现值的贴现率，即净现值为零的贴现率，其计算公式为：
IRR
IRR计算
对上面的两个方程分别求解，即可得分别出项目A和B的内部收益率。
公式
（1）计算年金现值系数(p／A，FIRR，n)=K／R；
（2）查年金现值系数表，寻到与上述年金现值系数相邻的两个系数(p／A，i1，n)和(p／A，i2，n)以及对应的i1、i2，满足(p／A，il，n) >K／R>(p／A，i2，n)； （3）用插值法计算FIRR： （FIRR-I）/（i1—i2）=[K／R-(p/A，i1，n) ]/[(p／A，i2，n)—(p／A，il，n)] 若建设项目现金流量为一般常规现金流量，则财务内部收益率的计算过程为： 1、首先依据经验确定一个初始折现率ic。 2、依据投资方案的现金流量计算财务净现值FNpV(i0)。 3、若FNpV(io)=0，则FIRR=io； 若FNpV(io)>0，则继续放大io； 若FNpV(io)<0，则继续减小io。 （4）重复步骤3)，直到寻到如此两个折现率i1和i2，满足FNpV(i1) >0，FNpV (i2)<0，其中i2-il一般不胜过2％-5％。 （5）利用线性插值公式近似计算财务内部收益率FIRR。其计算公式为： （FIRR- i1）/ （i2-i1）= NpVl/ │NpV1│+│NpV2 │ 注：│NpV1│+│NpV2 │是指两个绝对值相加计算步骤
(1)在计算净现值的基础上，假使净现值是正数，就要采取这个净现值计算中更高的折现率来测算，直到测算的净现值正数近于零。
(2)再继续提升折现率，直到测算出一个净现值为负数。假使负数过大，就减弱折现率后再测算到靠近于零的负数。 (3)依据靠近于零的相邻正负两个净现值的折现率，用线性插值法求得内部收益率。优缺点
内部收益率法的优点是能够把项目寿命期内的收益与其投资总额联系起来，表示这个项目的收益率，便于将它同行业基准投资收益率对比，确定这个项目能否值得建设。运用借款执行建设，在借款条件（首要是利率）还不很清晰时，内部收益率法可以避开借款条件，先求得内部收益率，作为可以接受借款利率的高限。但内部收益率表现的是比率，不是绝对值，一个内部收益率较低的方案，或许受于其范围较大而有较大的净现值，因此更值得建设。所以在各个方案选比时，务必将内部收益率与净现值结合起来考虑。分析
内部收益率就是在考虑了时间价值的情形下，使一项投资在将来造成的现金流量现值，刚好等于投资成本时的收益率，并非是你所想的“不论高低净现值均为零，所以高低都无所谓”，这是一个本末倒置的想法了。由于计算内部收益率的前提本来就是使净现值等于零。 说得通俗点,内部收益率越高，表明你投入的成本相对地少，但得到的收益却相对地多。比如A、 B两项投资，成本均为10万，运营期均为5年，A每年可获净现金流量3万，B可获4万，通过计算，可以得出A的内部收益率约等于15%，B的约等于28%，这些，其实通过年金现值系数表就可以看得出来的。指标比较
内部收益率 内部收益率是执行盈利能力分析时采取的首要方法一。从经济意义上，内部收益率IRR的取值规模应是：—1＜IRR＜∞，大部分情形下的取值规模是0＜IRR＜∞。求得的内部收益率IRR要与项目的设定基准收益率i0对比较。当IRR≥i0时，则显示项目的收益率已高达或胜过设定折现率水平，项目可行，可以考虑接受。内部收益率可通过方程求得,但该式是一个高次方程，一般采取“试算内插法”求IRR的近似解。 内部收益率被广泛觉得是项目投资的盈利率，反应了投资的运用效率，概念清晰清晰。比起净现值与净年值来，各行各业的事实经济工作者更喜欢采取内部收益率。内部收益率指标的突出优点就是在计算时不需事先给定基准折现率，避开了这一既问题又易引起争论的困难。内部收益率不是事先外生给定的，是内生决定的，即由项目现金流计算出来的，当基准折现率入不易确定其精准取值，而只知其大差不差的取值区间时，则运用内部收益率指标就较容易分析项目的取舍，IRR优越性是显而易见的。 但是，内部收益率也有诸多缺陷和困难，如多解和无解困难、与净现值指标的矛盾困难等，给我们导致了诸多不便和困惑。净现值和内部收益率指标的关系
净现值ＮＰＶ（Net psent value）是一个价值型指标，其经济涵义是投资项目在整个寿命期内得到的胜过最低期望收益水平的超标净收益现值总和。净现值的含义较为清晰，也易于理解，净现值ＮＰＶ是基准折现率i0的函数，而且伴随i0的放大而减小。内部收益率ＩＲＲ是一个效率型指标，其经济涵义的表述方式较多，常见的表述是投资项目寿命期内仍未收回投资余额的盈利率，反应了投资额的回收能力，内部收益率与基准折现率i0的大小无关。但是采取两个指标对投资方案执行评价时，它们的评价结论均受基准折现率i0大小的影响，其中内部收益率ＩＲＲ方法是以基准折现率i0为判别标准的。净现值和内部收益率指标都隐含了投资项目的各年净现金流量全部用于再投资的假说。但净现值指标如果投资项目各年（各期）净现金流量（投资净收益）均按基准折现率i0再投资。而内部收益率则如果投资项目各年（各期）净现金流量（投资净收益）均按内部收益率再投资，将ＩＲＲ的定义式执行简单的变换即可。显著，一般情形下投资项目各年投资净收益是很难再按该项目的内部收益率再投资的，故内部收益率的再投资如果是不合理的，而前者净现值指标的按投资人期望高达的最低贴现率水平i0再投资的如果要更为合理。 一般情形下，净现值和内部收益率指标对投资方案的接纳与否的结论是统一的，即当方案的ＮＰＶ≥０时，ＩＲＲ≥i0。但是，当对互斥方案组执行评价排序时，净现值和内部收益率指标或许造成不统一的结论（造成矛盾）。究其原因，正是两种方法再投资如果的不同导致。
近年来，有不少学者对于净现值和内部收益率的矛盾困难及处理方法执行了深入研究，并就IRR指标的改进和修正方法等困难发表了诸多文章。但影响技术方案评价决策困难的原因繁多，单靠一个指标的能力和作用是有限的，需要诸多指标相互配合综合分析。困难的核心是让制定人充分了解各个评价指标的经济涵义并能认识到它们固有的缺陷，以恰当运用和防止决策失误。假使一味地对ＩＲＲ指标执行修正完善，反而会给原指标的经济涵义导致混乱，计算也越来越烦琐而不实用，更给制定人导致困惑，因此不易提倡。且有些修正方法与已有指标如外部收益率ERR等基本趋同，缺乏新意。 所以应将研究的着重放在技术方案之间相互关系和评价指标体系优化的困难上来，实践中应强调各个指标（如净现值、净现值率、内部收益率、差额净现值、差额内部收益率、投资回收期等）的灵活选用，取长补短、相互补充、综合评价、科学决策。举例分析
有A、B、C、D、E、F、G七个方案, 现金流量情形如表1。表中对各个方案的NPV和IRR等指标执行了计算。其中：A、B、C三方案的投资额相同，D、E、F、G的投资额相同。G方案的IRR无解。 ⑴ 对A、B、C三个投资额相同方案的分析
总计净现金流量∑NCFt 对比：A方案﹤B方案﹤C方案； 净现值NPV对比：A方案﹤B方案﹤C方案； 内部收益率IRR对比：B方案﹥A方案﹥C方案。 由C、B两方案可以看出，C方案∑NCFt 和NPV较高，但B方案的IRR较高，所以IRR有助于前期收益高的方案；D、E方案也同样具有此种现象。 ⑵ 不同投资范围的方案的比较， NPVI排序（如表）较合理。但是，就A、C两方案来说，C方案的风险较大，保守派将看好于A，冒险者将看好于C。 ⑶ 若结合净现值函数曲线分析各个方案相关指标的改变情形，特质更为显著。困难
内部收益率的存在性讨论
由内部收益率的定义式知，它对应于一个一元高次多项式（IRR的定义式）的根。该一元高次多项式的根的困难，也就是内部收益率的多解或无解困难，是内部收益率指标一个突出的缺陷。利用笛斯卡尔（Desdartes）判别准则可以分析一元高次多项式实根的个数。对于内部收益率的多解或无解困难，当前学术界说法不一，但其中有些说法是欠妥的，诸如“内部收益率的不存在是受于项目再投资产生的”，“当一元高次多项式多解，但存在唯一正根时，这一正根就是项目的内部收益率”等等。
这里就一元高次多项式显现多根困难后，内部收益率的存在性及分析困难执行着重讨论。容易证明，常规投资项目必定存以内部收益率，而非常规投资项目无论一元高次多项式的解有多少，其内部收益率则有机会不存在。究其原因，显然是与项目的投资结构和全部现金流量紧密有关，是受于项目投资的不接连（显现了追加投资）而产生的。 如前所述，依据内部收益率的定义，可以得出它的经济涵义和再投资如果。更深一步地，通过验证其投资回收过程也不难发现如下结论：内部收益率ＩＲＲ经济涵义的更深一步解释——“即按内部收益率ＩＲＲ换算，投资项目在整个寿命期内始终处在投资回收状态，寿命期内各年始终存在未回收的投资”，受于各年始终存在未回收的投资，所以根本就不需要考虑项目收益的再投资困难。如此也更深一步验证了再投资假说。内部收益率解的判别等困难务必基于这一结论。 如前面所述，大部分项目均为在建设期集中投资，直到投产初期或许还显现入不付出，净现金流量为负数，但进入正常生产或达产后就能收入大于开支，净现金流量为正数。因此，在整个计算期内净现金流量序列的符号从负数到正数只更改一次，我们把在计算期内，净现金流量序列的符号只改变一次的项目称为常规项目。对于常规项目，若总计净现金流量大于零，一般会有一个正实数根，则其应该是该项目的内部收益率。 在计算期内，假使项目的净现金流量序列的符号正负改变多次时，则称此类项目为非常规项目。一般地讲，假使在生产期大批追加投资，或在某些年份集中偿还债务，或运营费用开支过多等，都有机会致使净现金流量序列的符号正负多次改变，组成非常规项目。非常规投资项目内部收益率方程的解显然不止一个。这些解中能否有真正的内部收益率呢?这需要依照内部收益率的经济涵义执行检验：即以这些根作为盈利率，看在项目寿命期内能否始终存在未被回收的投资。 首先看一元高次多项式能否有正实数根，假使有多个正实数根，则须经历检验，符合内部收益率经济涵义的根才是项目的内部收益率；假使只有一个正实数根，则或许是该项目的内部收益率，也也许不是，同样需要检验。假使无正实数根，或所有实数根都不能满足内部收益率的经济涵义的要求，则该项目无解。对这类投资项目，一般地讲，内部收益率法已失效，不能用它来执行项目的评价和选择。 当前，对于非常规投资项目内部收益率方程多根时，这些根中能否有真正的内部收益率解的困难，即解的存在性困难，还没有一个判别定理。下面，就此困难深入讨论。 对于非常规投资项目（或技术方案），若在其整个寿命期内除初始投资之外，还存在多次追加投资或净现金流量为负（设有Ｋ次，Ｋ≥１）,则一元高次多项式会造成多个实根。为了表述方便，这里引入两个概念：①追加投资保持期。所谓追加投资保持期是指从该次（第k次，k=1,2,3,……,K）追加投资发生时点起直至整个投资项目寿命期末的时间。特别地，k=K时，指最后一次追加投资保持期；k=０时，指整个投资项目寿命期；②追加投资净现值。是指在第k次追加投资保持期内全部现金流量的贴现之和（贴现至第k次追加投资发生初时点），且记为：ＮＰＶk（i）。IRR存在性判别定理
当一元高次多项式（IRR定义式）多根(设有M个正实根，分别是IRR1、IRR2、IRR3、……IRRM)，其中，若有某一正实根ＩＲＲm(m=1,2,3,……,M)能使所有的追加投资净现值大于等于零，即：
ＮＰＶk（ＩＲＲm）≥ 0 k = 0,1,2,3,……,K 则这一正实根ＩＲＲm就是整个投资项目的内部收益率。 显著，当k = 0时, ＮＰＶk（ＩＲＲm）＝ 0。定理证明
若ＩＲＲm使某一次（第k次）追加投资净现值ＮＰＶk（ＩＲＲm）＜ 0（k不为零时）。则显示第k次追加投资在其保持期内收益过低，按ＩＲＲm贴现计算的净现值为负数，不能弥补此次追加投资。对于其造成的亏空，必然需要前期投资全部回收并有盈余来给予弥补。如此若对整个投资回收过程执行验证，就会在本轮追加投资时点以前显现盈余资金，以弥补后期追加投资的亏空。投资项目在整个寿命期内就不会始终处在投资回收状态，而是显现了局部的盈余，也就不或许始终存在未回收的投资，则与再投资假说相饽, 所以ＩＲＲm就不是投资项目的内部收益率。 若ＩＲＲm能使各个追加投资净现值ＮＰＶk（ＩＲＲm）≥ 0，就可以保证投资项目在整个寿命期内就始终处在投资回收状态，始终存在未回收的投资，则与内部收益率娘经济涵义及再投资假说吻合, 所以此时的ＩＲＲm就是投资项目的内部收益率。得出的结论
结论一：当一元高次多项式多根时，可用使所有的追加投资净现值ＮＰＶk（ＩＲＲm）≥0 准则来分析整个投资项目内部收益率的存在性。
结论二：投资项目之所以不存以内部收益率是受于项目追加投资在其保持期内的投资收益过低，不能弥补追加投资而产生的。 结论三：当一元高次多项式多根，但只存在唯一正根时，它不一定就是项目的内部收益率。需要用结论一来判明。 在确定基准折现率时的错误运用及原因分析运用误区
内部收益率指标在对单方案评价时是正确的,在多方案的比较中，假使直接将两个或两个以上方案的内部收益率拿来比较，并觉得内部收益率大的方案好于内部收益率小的方案，就或许致使错误的结果，假使采取该种做法事实上就进入了内部收益率的运用误区。但是在事实应用和研究中错误运用内部收益率指标的人却很多，这是什么原因呢?
错误原因
内部收益率指标的错误运用首要是由于对内部收益率的内在含义不理解。内部收益率是使净现值为零时的贴现率。其基本表达式为:
NPV——净现值;CIt——第t年的现金流入额。式中:COt——第t年的现金流出额;IRR——内部收益率;n——项目寿命年限。 对于单独项目,内部收益率的评价是正确的,其判定标准为:设i0为基准折现率, 当IRR≥i0,则项目在经济效果上可以接受;当IRR IRR为NPV曲线与横坐标交点处对应的折现率。伴随折现率持续放大净现值持续减小，直到折现率等于IRR处净现值为零。这就是说,当基准折现率差于IRR时，净现值为正，项目方案可行，当基准折现率大于IRR时，净现值为负，项目方案不可行。 从IRR的基本表达式和图1可以看出:IRR的计算不需要知道项目的基准折现率，即不需要考虑市场利率及随时间改变的一部分未知性原因,这就是其优势所在，所以应用内部收益率指标的人也很多，但假使对内部收益率内涵理解不够清晰，就会进入内部收益率运用的误区，即直接根据多方案的内部收益率大小来比较优劣。内部收益率虽能精准反应项目事实盈利情况的机会趋势，但却反应不出项目事实收益率的真实报告。所以，内部收益率只能应用于单个项目本身经济性的评价，不能将两个或多个项目的IRR直接拿来比较优劣。在基准折现率确定中的不当运用及原因
基准折现率是企业在项目决策中将各个不同期期的资金联系起来的纽带，它使不同期期的费用和效益具有可比性，从动态的角度充分体现了资金的时间价值。基准折现率在计划经济时代是由国家相关部门行业官方测算发布的，用来评价那些国有投资项目。而对于当下多种形式的投资项目来说，它并没有太大的价值，首要原因是各个项目对投资回报的要求不尽相同。当下,基准折现率多是由投资企业或行业自己决定。所以,一旦企业基准折现率确定的不合理，就将对整个企业盈利性产生很大影响。而决定基准折现率的原因也比较复杂，对于单个项目，基准折现率的大小首要取决于资金来源（借贷资金、新添权益资本和企业再投资资金等）的结构及各种资金的成本，并要顾虑到影响投资的项目风险和通胀原因。
而对于整个企业或行业，若从总的的目标出发就造成了此外一种看法，即把从资金需求和供给角度决定的截至收益率作为企业或行业的基准折现率。该种方法是建立在下方假定条件下的: 1.企业是从总的目标出发为使企业全部净投资收益最大化而决策。 2.企业清晰全部的投资机会，能正确估算所有被选投资项目的内部收益率并将不同项目的收益率调整到同一风险水平上。 3.企业可以通过各种渠道筹集到充足的资金，并能正确估算出不同来源资金的资金成本。 同期觉得在一个经济实体中，伴随投资范围的扩大，筹资成本会越来越高。而在有大量投资机会的情形下，如将筹集到的资金优先用于收益率高的项目，那么伴随投资范围的扩大，新添投资项目的收益率会越来越低。当新添投资导致的收益仅能弥补其资金成本时，投资范围的扩大就应当停止。此时的收益率就是截至收益率，也就是企业从总的目标出发所得的目标收益率。操作策略
运用内部收益率率法执行投资决策时，其决策准则是：IRR大于公司所要求的最低投资报酬率或资本成本，方案可行;IRR差于公司所要求的最低投资报酬率，方案不可行，假使是多个互斥方案的比较选择，内部收益率越高，投资效益越好。内部收益率法的优点是考虑了投资方案的真实报酬率水平和资金时间价值;缺点是计算过程比较复杂、繁琐。
封闭式基金高折价率的后面是一只什么样的指挥棒在挥舞？市场亦在持续地寻求这后面的原因和价值。 折价率为何再攀高峰 。 从外在表现来说，要归因于基金净值与价格、不同范围基金间价格两大不同步。一是基金净值与二级市场价格不同步，二级市场价格表现要落后于净值上升程度。二是不同范围基黄金价格格不同步。即使最近基金净值均有一定上升，但受于多部分大盘基金到期日较远，小盘基金到期日较近，不同范围基金的流动性差异较大，市场表现有很大的区别。 从内在原因来说，要归因于制度缺陷、管理缺陷和套利机会缺失。制度缺陷、管理缺陷首要包含封闭式基金与放开式基金的运行机制不同易显现道德风险；不成文的“放开式基金优先交易原则”；基金持有人机构化特质加重致使流动性不足等等。套利机会的缺失则是封闭式基金逐渐边沿化、折价率持续上升的理论解释。封闭式基金在存续期内不能赎回和极差的流动性大大地影响了套利机制的通畅，致使了交易价格与净值的长期背离。高折价≠高价值 低分红率≠低价值
封闭式基金的投资价值决定于四大原因：业绩表现、折价率、存续期和到期安排。不考虑其余三个原因的高折价率，是不能表明其投资价值的大小的。只能说从理论上讲高折价率之下的超低价格，具有适当的市场投资机会，且市价与净值之间的重大差距，使其风险相对较小。一部分封闭式基金受于净值长期差于面值，分红率广泛较低，多部分在1％下方。只有基金科瑞运营业绩较佳，以13.04％的分红率高居榜首。但是，结合封闭式基金的高折价情形，具备分红能力的基金品种就具备较大的价值。由于高折价，买入封闭式基金相当于以六七折价格直接买入市场股票，其分红率就会有所增大。
内部收益率揭示基黄金价格值
理论上，封闭式基金也快到到期时，价格会向其净值靠拢。那么，投资当前广泛高折价的封闭式基金，就有机会得到较高的投资收益。所以，如果净值不变，引入内部年收益率指标，以到期执行清算获取收益对封闭式基金执行绝对估值，估值方法采取现金流贴现法，计算基黄金价格格向净值回归过程中的投资价值。 统计表明，内部收益率指标与存续期、基金份额和折价率关联度较大。存续期短的小盘基金，折价率在12％－25％，内部收益率较高；相反，存续期较长的大盘基金，折价率在35％－47％，内部收益率较低。
内部收益率举例表明
某项目期初投资200万，以后的10年每年都有30万的现金流，求该项目的内部收益率（IRR）。（注：利率插值区间宽度差于1%即可）
解答： 内部收益率（IRR），是指项目投资事实可望高达的收益率，实质上，它是能使项目的净现值等于零时的折现率。 -200+[30/(1+IRR)+30/(1+IRR)^2+....+30/(1+IRR)^10]=0IRR=8.14%