欧拉定理

欧拉其人

欧拉，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一名杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。欧拉著作惊人的高产并没有是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即便在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。欧拉研究论著差不多涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！有很多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家高斯（Gauss，1777-1855）曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。欧拉依旧数学符号发明者，他创设的很多数学符号，比如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等，迄今沿用。欧拉不仅处理了彗星轨迹的计算困难，还处理了使牛顿头痛的月离困难。对著名的“哥尼斯堡七桥困难”的完美解答开创了“图论”的研究。欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总相关系V+F-E=2，此式称为欧拉公式。V+F-E即欧拉示性数，已形成“拓扑学”的基础概念。那么什么是“拓扑学”？ 欧拉是如何发现这个关系的？他是用什么方法研究的？今天让我们沿着欧拉的足迹，怀着崇敬的心情和欣赏的立场探索这个公式......初等数论中的欧拉定理

定理内容

在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理）是一个有关同余的性质。欧拉定理显示，若n,a为正整数，且n,a互素，(a,n) = 1，则

a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

证明

首先证明下面这个命题：

对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n且与n互素的数，即n的一个化简余下系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)}

则S = Zn

1) 受于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于n互质，所以

任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素

2) 对于Zn中两个元素xi和xj，假使xi ≠ xj

则a*xi(mod n) ≠ a*xj(mod n)，这个由a、n互质和消去律可以得出。

所以，很显著，S=Zn

既然如此，那么

（a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n)

= （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n)

= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)

考虑上面等式左边和右边

左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n)

右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)

而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互质

依据消去律，可以从等式两边约去，就得到：

a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n)

费马定理:

a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

证明这个定理非常简单，受于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。

同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有a^p ≡ a (mod p)平面几何里的欧拉定理

定理内容

设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d^2=R^2-2Rr．

证明

O、I分别为⊿ABC的外心与内心．

连AI并延长交⊙O于点D，由AI平分ÐBAC，故D为弧BC的中点．

连DO并延长交⊙O于E，则DE为与BC垂直的⊙O的直径．

由圆幂定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID．（作直线OI与⊙O交于两点，即可用证明）

但DB=DI（可连BI，证明ÐDBI=ÐDIB得），

故只需证2Rr=IA·DB，即2R∶DB=IA∶r 即可．

而这个比例式可由⊿AFI∽⊿EBD证得．故得R2-d2=2Rr，即证．拓扑学里的欧拉公式

V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。

假使P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），那么X(P)=2，假使P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。

X(P)叫做P的拓扑不变量，是拓扑学研究的规模。经济学中的“欧拉定理”

在西方经济学里，产能和生产要素L、K的关系表述为Q＝Q(L，K)，假使具体的函数形式是一次齐次的，那就有：Q＝L(ðQ/ðL)＋K(ðQ/ðK)，换句话说，产品分配净尽取决于Q是否表明为一个一次齐次函数形式。

由于ðQ/ðL＝MPL＝w/P被看为劳动对产能的贡献，ðQ/ðK＝MPK＝r/P被看为资本对产能的贡献，所以，此式被解释为“产品分配净尽定理”，也就是所有产品都被所有的要素正好分配完而没有余下。由于形式上符合数学欧拉定理，所以称为欧拉定理。

【同余理论中的"欧拉定理"】

设a,m∈N,(a,m)=1,则a^(f(m))≡1(mod m)

(注:f(m)指模m的简系个数)复变函数论里的欧拉公式

定理内容

e^ix=cosx+isinx

e是自然对数的底，i是虚数单位。

它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

将公式里的x换成-x，得到：

e^-ix=cosx-isinx，然后采取两式相加减的方法得到：

sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.

这两个也叫做欧拉公式。

“上帝创造的公式”

将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：

e^iπ+1=0.

这个等式也叫做欧拉公式，它是数学里最让人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。意义

（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律

（2）思想方法创新：定理发现证明过程中，观念上，如果它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方法上将底面剪掉，化为平面图形（立体图→平面拉开图）。

（3）引入拓扑学：从立体图到拉开图，各面的形状、长度、距离、面积等与度量相关的量发生了改变，而顶点数，面数，棱数等不变。

定理引导我们进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在该种变形过程中的不变的性质。

（4）提出多面体分类方法：

在欧拉公式中， f (p)=V+F-E 叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们，简单多面体f (p)=2。

除简单多面体外，仍有非简单多面体。比如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经历接连变形变为一个球面，而能变为一个环面。其欧拉示性数f (p)=16+16-32=0，即带一个洞的多面体的欧拉示性数为0。

（5）利用欧拉定理可处理一部分事实困难

如：为何正多面体只有5种？ 足球与C60的关系？否有棱数为7的正多面体？等V+F-E=2的证明

方法1：（利用几何画板）

逐渐降低多面体的棱数，分析V+F-E

先以简单的四面体ABCD为例分析证法。

去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。所以，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1

（1）去掉一条棱，就降低一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。

（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就降低一个顶点，V+F1-E不变，直至还剩下一条棱。

以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加之去掉的一个面，V+F-E =2。

对任意的简单多面体，运用如此的方法，均为还剩下一条线段。所以公式对任意简单多面体均为正确的。

方法2：计算多面体各面内角和

设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和Σα

一面，在原图中利用各面求内角总和。

设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：

Σα = [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2) ·180度]

= (n1+n2+…+nF -2F) ·180度

=(2E-2F) ·180度 = (E-F) ·360度 （1）

另一面，在拉开图中利用顶点求内角总和。

设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·180角，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·360度，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180度。

所以，多面体各面的内角总和：

Σα = (V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度

=（V-2）·360度（2）

由(1)(2)得： (E-F) ·360度=（V-2）·360度

所以 V+F-E=2.

方法3 用拓扑学方法证明欧拉公式

试图一下用拓扑学方法证明有关多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。

欧拉公式：对于任意多面体（即各面均为平面多边形而且没有洞的立体），如果F，E和V分别表明面，棱（或边），角（或顶）的个数，那末

F-E+V=2。

证明 如图（图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的）：

（1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。

（2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。如果F′，E′和V′分别表明这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。

（3）对于这个平面图形，执行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形相继引进对角线，一直到形成一部分三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增长1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。所以当完全分割成三角形的时机，F′-E′+V′的值依然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。

（4）假使某一个三角形有一边在边界上，比如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其余三角形的边，即AC，如此也就去掉了△ABC。如此F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。

（5）假使某一个三角形有二边在边界上，比如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其余三角形的边，即DF和EF，如此就去掉△DEF。如此F′减去1，E′减去2，V′减去1，所以F′-E′+V′仍没有变。

（6）如此继续执行，直到还剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时F′=1，E′=3，V′=3，所以F′-E′+V′=1-3+3=1。

（7）由于原来图形是连在一起的，中间引进的各种改变也不损坏这事实，所以最后图形依旧连在一起的，所以最后不将是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。

（8）假使最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。所以F′-E′+V′依然没有变。

即F′-E′+V′=1

成立，于是欧拉公式：

F-E+V=2

得证。欧拉定理的运用方法

（1）分式：

a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)

当r=0,1时式子的值为0

当r=2时值为1

当r=3时值为a+b+c

（2）复数

由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：

sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i

cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2

（3）三角形

设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：

d＾2=R＾2-2Rr

（4）多面体

设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则

v-e+f=2-2p

p为欧拉示性数，比如

p=0 的多面体叫第零类多面体

p=1 的多面体叫第一类多面体

(5) 多边形

设一个二维几何图形的顶点数为V，划分区域数为Ar，一笔画笔数为B,则有：

V+Ar-B=1

(如：矩形加之两条对角线所构成的图形，V=5,Ar=4,B=8)

(6). 欧拉定理

在与一个三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九点圆圆心Nine-point-center、垂心Orthocenter共线。

其实欧拉公式是有很多的，上面仅是几个常用的。运用欧拉定理计算足球五边形和六边形数

问：足球表面由五边型和六边型的皮革拼成，计算一共有多少个如此的五边型和六边型？

答：足球是多面体，满足欧拉公式F－E＋V＝2，其中F,E,V分别表明面,棱,顶点的个数

设足球表面正五边形(黑皮子)和正六边形(白皮子)的面各有x个和y个，那么

面数F＝x＋y

棱数E＝(5x+6y)/2（每条棱由两块皮子共用）

顶点数V＝(5x+6y)/3（每个顶点由三块皮子共用）

由欧拉公式，x＋y－(5x+6y)/2＋(5x+6y)/3＝2，

解得x＝12。所以，共有12块黑皮子

所以，黑皮子一共有12×5＝60条棱，这60条棱均为与白皮子缝合在一起的

对于白皮子来看：每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起。

所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的

那么白皮子就应当一共有60×2＝120条边，120÷6＝20

所以共有20块白皮子

（或者，每一个六边形的六条边都与其它的三个六边形的三条边和三个五边形的三条边连接；每一个五边形的五条边都与其它的五个六边形的五条边连接

所以，五边形的个数x=3y/5。

以前求得x=12，所以y=20）