基本定义
用数轴上的一段历经或一个报告区间,表明总的参数的机会规模.这一段距离或报告区间称为区间预期的置信区间。出发点
区间预期(interval estimation)是从点预期值和抽样标准误出发,按给定的几率值建立包含待预期参数的区域.其中这个给定的几率值称为置信度或置信水平(confidence level),这个建立起来的包含待预期函数的区域称为置信区间(confidence interval),指总的参数值落在样本统计值某一区内的几率；而置信区间是指在某一置信水平下，样本统计值与总的参数值间误差规模。置信区间越大，置信水平越高。划定置信区间的两个数值分别称为置信下限(lower confidence limit,lcl)和置信上限(upper confidence limit,ucl)常常形式
区间预期，区间预期的区域上、下界一般形式为：“点预期±误差”
“总的均值”的区域预期
符号如果
总的均值：μ
总的方差：σ
样本均值：x* =(1/n)×Σ(Xi)
样本方差：s* =(1/(n-1))×Σ(Xi-x*)^2
置信水平：1-α
明显水平：α
困难
已知n个样本报告Xi (i=1,2,...,n)，如何预期总的的均值?
首先，引入记号：
σ'＝σ/sqrt(n)
s'＝s*/sqrt(n)
然后，分情形讨论：
情形1小样本(n<30)，σ已知，此时区间位于 x* ± z(α/2)×σ'
情形2小样本(n<30)，σ未知，此时区间位于 x* ± z(α/2)×s'
情形3大样本(n≥30)，σ已知，此时区间位于 x* ± z(α/2)×σ'
情形4大样本(n≥30)，σ未知，此时区间位于 x* ± t(α/2)×s'
其中，
z(α/2)表明：正态分布的水准α的分位数
t(α/2)表明：T分布的水准α的分位数正文
形式
参数预期的一种形式。通过从总的中抽取的样本，依据适当的正确度与精确度的要求，构造出适当的区域，以作为总的的分布参数(或参数的函数)的真值所在规模的估计。比如，预期一种药品所含杂质的比率在1～2％之间；预期一种合金的断裂力度在1000～1200千克之间，等等。在有的困难中，只需要对未知量取值的上限或下限做出预期。如前例中，一般只对上限感兴趣，而在第二例中，则只对下限感兴趣。
构造
在数理统计学中，待预期的未知量是总的分布的参数θ或θ的某个函数g(θ)。区间预期困难可一般地表述为：要求构造一个仅依靠于样本X＝(x1,x2,…,xn)的适当的区域【A(X),B(X)】,一旦得到了样本X的观测值尣，就把区间【A(尣),B(尣)】作为θ或g(θ)的预期。至于怎样的区域才算是“适当”，如何去构造它，则与所根据的原理和准则相关。这些原理、准则及构造区间预期的方法，便是区间预期理论的研究对象。作为参数预期的形式，区间预期与点预期是并列而又互相补充的，它与如果检验也有紧密的联系。置信区间理论
这是1934年，由统计学家J.奈曼所创立的一种严格的区域预期理论。置信系数是这个理论中最为基本的概念。
置信系数 奈曼以几率的频率解释为出发点，觉得被预期的θ是一未知但确定的量，而样本X是随机的。区间【A(X)，B(X)】能否真包含待预期的θ，取决于所抽得的样本X。所以，区间 【A(X),B(X)】只能以适当的几率包含未知的θ。对于不同的θ，π(θ)之值可以不同，π(θ)对不同的θ取的最小值1-α(0＜α＜1)称为区间【A(X)，B(X)】的置信系数。与此相应，区间【A(X)，B(X)】称为θ的一个置信区间。这个名词在直观上可以理解为：对于“区间【A(X),B(X)】包含θ”这个推断,可以予以一定程度的相信，其程度则由置信系数表明。
对θ的上、下限预期有相似的概念，下方限为例,称A(X)为θ的一个置信下限，若一旦有了样本X，就觉得θ不差于A(X),或者说，把θ预期在无穷区间【A(X),∞)内。"θ不差于A(X)"这论断正确的几率为θ)。π1(θ)对不同的θ取的最小值1-α(0＜α＜1)称为置信下限A(X)的置信系数。
在数理统计中，常称不胜过置信系数的任何非负值为置信水平。优良性准则
置信系数1-α 反应了置信区间【A(X),B(X)】的牢靠程度，1-α愈大，【A(X),B(X)】用以预期θ时，犯错误(即θ并没有在【A(X)，B(X)】之内)的机会性愈小。但这导致困难的一个方面。为了使置信区间【A(X),B(X)】 在事实困难中有用，它除了充足牢靠外，还应该充足精确。比如说，预期某个人的年纪在 5到95岁之间，虽十分牢靠，但太不精确，因此无用。一般指定一个很小的正值α（一般,α 取0.10,0.05，0.01等值）,要求置信区间【A(X),B(X)】的置信系数不差于1-α,在这个前提下使它尽或许地精确。对于“精确”的不同的解释，可以致使种种优良性标准。比较重要的有两个：一是考虑区间的长度B(X)-A(X)愈小愈好。这个值与X相关,一般用其数学期望Eθ(B(X)-A(X))作为衡量置信区间【A(X),B(X)】 精确程度的指标。这个指标愈小, 置信区间的精确程度就愈大。其他是考虑置信区间 【A(X), B(X)】包含假值（指任何不等于被预期的 θ 的值）θ┡ 的几率，它愈小，【A(X),B(X)】作为θ的预期的精度就愈高。
假使A(X)是θ的置信下限，则在保证A(X)的置信系数不差于1-α的前提下，A(X)愈大，精确程度愈高。这也可以用【A(X) ,∞)包含假值θ┡(θ┡<θ)的几率来衡量,此几率愈小，置信下限A(X)的精确程度愈高。对置信上限有相似的结果，若在某个准则下，一个置信区间（或上、下限）比其余置信区间都好，则称它为在这个准则下是统一最优的。比如,在上述准则下,置信系数1-α的统一最优置信下限A(X)定义为：A(X)有置信系数1-α ,且对任何有置信系数1-α的置信下限A1(X)，当θ┡<θ时，成立置信区间
有时，对所考虑的置信区间（或上、下限）加之某种一般性制约，在这个前提下寻求最优者。无偏性是经常用的制约之一，假使一个置信区间（上、下限）包含真值θ的几率，总不差于包含任何假值θ┡的几率,则称该置信区间（上、下限）是无偏的。同变性（见统计决策理论）也是一个常用的制约。
求置信区间的方法 最常用的求置信区间及置信上、下限的方法有下方几种。
一种是利用已知的抽样分布(见统计量)。比如，设x1,x2,…,xn为正态总的N(μ,σ2)（见正态分布）中抽出的样本，要作μ 的区域预期，记,· 则服从自由度为n-1的t分布。指定α>0，找这个分布的上α/2分位数tα/2(n-1)，则有
即
自此得到 μ 的一个置信系数为 1-α 的置信区间 。相似地可以定出μ的置信系数为1-α的置信上、下限分别为。如果检验
其他是利用区间预期与如果检验的联系，设要作θ的置信系数为1－α 的区域预期，对于任意的θ0，考虑原如果为 H:θ＝θ0，备择如果为 K:θ≠θ0。设有一水平为α 的检验，它当样本X属于集合A( θ0)时接受H。若集合{θ0∶X∈A(θ0)}是一个区间，则它就是θ的一个置信区间，其置信系数为1-α。就上例来说，对如果H:μ＝μ0的检验常用t检验：当时接受μ＝μ0，集合 即为区间 这正是前面定出的μ的置信区间。若要求θ的置信下限（或上限），则取原如果为θ≤θ0（或θ≥θ0）,备择如果为θ＞θ0（或θ＜θ0），依照同样的方法可得到所要求的置信下（上）限。
仍有一种方法是利用大样本理论（见大样本统计）。比如，设x1,x2,…,xn为抽自参数为p的二点分布（见几率分布）的样本，当n→∞时，依分布收敛（见几率论中的收敛）于标准正态分布N(0,1)，以 uα/2记N (0，1)的上 α/2 分位数，则有。所以，可作为p的一个区间预期，上面的极限值1－α就定义为它的渐近置信系数。费希尔的信任推断法
20世纪30年代初期，统计学家R.A.费希尔提出了一种构造区间预期的方法，他称之为信任推断法。其基本看法是：设要作θ的区域预期,在抽样得到样本X以前，对θ一无所知，样本X表露了θ的一部分信息，据此可以对θ取各种值予以各种不同的“信任程度”，而这可用于对θ作区间预期。比如，设X是从正态总的N(θ,1)中抽出的样本，则服从标准正态分布N(0,1)，自此可知，对任何α
即
费希尔把这个等式解释为：在抽样以前，对于θ落在区间内的机会性本来一无所知,通过抽样,得到了上述数值,它表达了统计工作者对这个区间的"信任程度",若取b)=-α=uα/2,则得到区间，其信任程度为 1-α。即当用上述区间作为θ的区域预期时，对于“它能包含被预期的θ”这一点可予以信任的程度为1-α。
在本例以及其余某些简单困难中，用费希尔的方法与用奈曼的方法得出统一的结果。但是，这两个方法不仅在基本看法上不统一，而且在较复杂的困难中，所得出的结果也不同。一个著名的例子是所谓的费希尔－贝伦斯困难：设两个正态分布μ1,μ2,σ娝,σ娤都未知，要求μ1-μ2的区域预期。费希尔用他的方法给予了一个与奈曼理论不统一的解法，奈曼在1941年曾对此执行了详尽的讨论。
此外。贝叶斯方法（见贝叶斯统计）也是一个重要的构造区间预期的方法。统计决策理论中引进的一部分概念和优良性准则,也可用于区间预期。另外序贯方法(见序贯分析)在区间预期中也有了相当的成长。
区域预期 有时要对两个或许多的参数θ＝(θ1，θ2，…，θk)(k>1)，比如正态分布N(μ,σ2)中的μ与σ2，同期执行预期；这时，每当有样本X，就由X在θ的取值的k维空间Rk内定出一个区域Q(X)，而把θ预期在Q(X)内。该种预期叫做区域预期。所用区域一般为比较简单的几何形状，如长方体、球或椭球等。有关区域预期的置信系数、优良性准则及其求法等，与区间预期情形类似。
容忍限与容忍区间 这是一个与区间预期有紧密联系的概念,但处理的困难不同。给定β,у,0<β<1,0<у<1,以F记总的分布。若T(X)为一统计量,满足条件，则称 T(X)为总的分布F 的上（β，у）容忍限。相似地可定义下(β,у)容忍限。若T1(X)和T2(X)为两个统计量,T1(X)≤T2(X),且，则称 【T1(X)，T2(X)】 为总的分布的一个(β,у)容忍区间。比如,X是某产品的质量指标,而F为其分布，则(β,у)容忍区间【T1(X),T2(X)】的意义是：起码有1-β的把握笃定“起码有100(1-у)％的产品,其质量指标落在区间【T1(X),T2(X)】之内”。可以说,容忍区间预期的是总的分布的几率汇聚在何处，而非总的分布参数。
