泊松过程

简介

波松

波松，法国数学家。1781 年6月21号生于法国卢瓦雷省的皮蒂维耶，1840年4月25号卒于法国索镇。

1798年入巴黎综合工科学校深造。在毕业时，因优秀的研究论文而被指定为讲师。承受P.-S.拉普拉斯、J.-L.拉格朗日的赏识。1800年毕业后留校任教，1802年任副教授,1806年接替J.-B.-J.傅里叶任该校教授。1808年任法国经度局天文学家,1809年任巴黎理学院力学教授。1812年当选为巴黎科学院院士。

泊松的科学生涯开始于研究微分方程及其在摆的运动和声学理论中的应用。他工作的特色是应用数学方法研究各种力学和物理困难，并自此得到数学上的发现。他对积分理论、行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和几率论都有重要贡献。泊松过程

用数学语言说,满足下列三条件的随机过程X={X(t),t≥0}叫做泊松过程。①P(X(0)=0)=1。②不相交区间上增量相互独立，即对一切0≤t1s)的几率分布为泊松分布,即，式中Λ(t)为非降非负函数。若X还满足④X(t)-X(s)的分布仅依靠于t-s，则称X为齐次泊松过程；这时Λ(t)=λt，式中常数λ>0称为过程的力度，由于EX(t)=Λ(t)=λt,λ等于单位时期内事件的平均发生次数。非齐次泊松过程可通过时间尺度的变换变为齐次泊松过程。对泊松过程,一般可取它的每个样本函数均为跃度为1的左(或右)接连阶梯函数。可以证明，样本函数具有这一性质的、随机接连的独立增量过程必是泊松过程，因此泊松过程是描写随机事件总计发生次数的基本数学模型之一。直观上,只要随机事件在不相交时间区间是独立发生的,而且在充分小的区域上最多只发生一次，它们的总计次数就是一个泊松过程。在应用中很多场合都近似地满足这些条件。比如某系统在时段[0,t)内造成故障的次数,一真空管在加热t秒后阴极发射的电子总数,都可假定为泊松过程。

齐次泊松过程的特质

描述随机事件总计发生次数的过程一般称为计数过程（见点过程）。一个简单而且局部有限的计数过程｛X(t)，t≥0｝，往往也可以用它依次发生跳跃(即发生随机事件)的时刻{Tn，n≥1}来规定，即取T0=0，Tn＝inf{t:X(t)≥n}，n≥1，而当Tn

泊松过程的推广

较泊松过程稍为大量的计数过程是更新过程，更新过程的跳跃时间间距是相互独立同分布的，但不一定是指数分布。这类过程常被用来描写某些设备的总计故障次数。若对跳跃时间间距不作任何假定，就形成一般的计数过程或称一维点过程。假如某设备在【0，t)时段内故障的总计次数N(t)是泊松过程，而每次故障产生的耗损不尽相同,用随机变量Yi表明第i次耗损，则在【0,t)内总体耗损为。当{N(t)，t≥0}为齐次泊松过程，{Yi,i≥1}又是相互独立同分布且与｛N(t)｝独立时,X=｛X(t)，t≥0｝称为复合泊松过程。受于{N(t),t≥0}可以用其跳跃时刻{Ti,i≥1}来规定,因此复合泊松过程可用{(TnYn),n≥1}来规定,即。若对{(Tn,Yn),n≥1}的统计特性不作任何假定，如此规定的X 便是一种一般地描述系统跳跃改变的随机过程，常称为标值点过程，也称多变点过程或跳跃过程。

泊松过程除作为计数过程的一种重要数学模型外，又是大量重要随机过程的特殊情况。独立增量过程的莱维－伊藤分解显示,利用它还可组成一般的独立增量过程,因此它在随机过程中占有特殊地位，也有人把它与布朗运动一起称之为随机过程的基石。

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